数学的实用目的便是测量。最古老的例证之一是三角测量,还有一个便是微分方程。后者是干什么的?其实它所做的不过是一系列三角测量的总和。因此,认识三角测量,便能认识微分方程,即所谓温故知新。不过,两者的复杂性稍有区别:前者只做一次测量,后者要做一系列测量。
微分方程被牛顿、莱布尼茨两人(图 0.1)创造以来,就被许多科学家所继承使用,甚至每一门学科都对应着一个微分方程。
图 0.1
2002 年暑期,西方几位专家来华访问和演讲,不约而同的是,他们的讲题要么是电磁波中的微分方程,要么是量子力学中的微分方程。这是为什么?他们回答:无论是手机制造公司,还是纳米研究公司,都要他们解出这些微分方程。
牛顿、莱布尼茨或巴罗的微积分早已写在了教科书中,但写的不等于想的,他们怎么想只有他们自己知道,后人只能凭自己的经历谈心得。
导游:这棵老树年年都在长高,每年都有测绘人员来测树高。 游客:一棵树怎么测高呀?要砍倒树或爬上去吗? 我想:中学生都知道,如果有了三角学,便无须砍树或爬树,可只凭一个虚拟斜边的斜率来测量树高呀(图 0.3)!
我们处在山坡上的一点,因为视野受限,看不见远方。
令图 0.6 的左图收缩成一段,在一段曲线上,各点的斜率差不多相同。若将起点斜率作为这一段的斜率,然后用它来测量,给出这一段的高度增量 ≈ 起点斜率 × 底长 ≈ 缩短后斜率曲线所围面积。各段测量的总和便是 总山高 = 斜率曲线所围面积。 这就是牛顿 - 莱布尼茨公式。
大学生解微分方程()计算人口普查的预测值。
作者:林群