题目解答

（1）当

时，f\left(x\right)=e^{x}+\cos x-\sin x

，{f'}\left(x\right)=e^{x}-\sin x-\cos x

.
令h\left(x\right)=e^{x}-\sin x-\cos x

，
则当x∈[\frac{π}{2}，+∞)

时，{e}^{x}≥{e}^{\frac{π}{2}}＞2，sinx+cosx＜2

，
从而h\left(x\right)=e^{x}-\sin x-\cos x \gt 0

成立；
当x∈[0，\frac{π}{2})

时，h′(x)={e}^{x}-cosx+sinx={e}^{x}+\sqrt{2}sin(x-\frac{π}{4})

，
此时有{e}^{x}≥1，\sqrt{2}sin(x-\frac{π}{4})∈[-1，1)

，
从而{h'}\left(x\right)\geqslant 0

，h\left(x\right)

在[0，\frac{π}{2})

上单调递增，h\left(x\right)\geqslant h\left(0\right)=0

，
故当a=0

，x\geqslant 0

时，{f'}\left(x\right)\geqslant 0

恒成立，函数f\left(x\right)

在\left(0,+\infty \right)

上单调递增.
(2)e^{x+a}+\cos x-\sin x\geqslant 0

，则{e}^{a}≥\frac{sinx-cosx}{{e}^{x}}

.
令φ(x)=\frac{sinx-cosx}{{e}^{x}}，x∈(0，+∞)

，则φ′(x)=\frac{2cosx}{{e}^{x}}，x∈(0，+∞)

.
故\varphi \left(x\right)

在(0，\frac{π}{2})

上单调递增，在(\frac{π}{2}+2kπ，\frac{3π}{2}+2kπ)

上单调递减，
在(\frac{3π}{2}+2kπ，\frac{5}{2}π+2kπ)

上单调递增，其中k\in N

，
又φ(\frac{π}{2})≥φ(\frac{π}{2}+2kπ)

，故{e}^{a}≥\frac{1}{{e}^{\frac{π}{2}}}

.
故实数a

的取值范围是[-\frac{π}{2}，+∞)

.