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我们都学习过三角函数，但很多朋友对角度制和弧度制的理解存在误区。以正弦函数y=sinx为例，这里的自变量x可以取角度(°)也可以取弧度(rad)，此时两者在本质上是一样的。 我们规定一个扇形的弧长L与半径R的比值为圆心角α°的弧度值θ(rad)。由于两个长度的比值必然为一个实数，所以弧度的本质就是一个实数。 当弧长和半径相等时，此时圆心角所对应的弧度为L:R=1(rad)。一个圆的周长为2πR，此时圆心角为360°，所以360°=2πR：R=2π(rad)。 
360°=2π(rad) 180°=π(rad)≈3.14(rad) 1°=(π/180)(rad)≈(3.14/180)(rad)≈0.017(rad) 1(rad)=(180/π)°≈(180/3.14)°≈57.3° 例如sin30°=sin(π/6)=1/2 这里sin(π/6)≈sin(3.14/6)≈sin(0.52) 对于sinx，x可以取角度也可以取弧度，但是sinx的值只能代表一个实数，也就是弧度。这一点是很多朋友理解不够准确的地方，务必注意。 今天，我们来探讨一个很有趣的问题，证明sin(cosx)＜cos(sinx)。 
要想证明这个结论，我们首先回顾正余弦函数的基本性质。 ①取值范围：sinx∈[-1,1]；cosx∈[-1,1] ②单调性：sinx在[-π/2,π/2]上单调递增 ③诱导公式：cosx=sin(π/2-x)=sin(π/2+x) ④两角和差公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ 
根据以上性质，我们就可以得到一个很重要的结论。 cosx+sinx=√2[(√2/2)cosx+(√2/2)sinx] =√2[sin(π/4)cosx+cos(π/4)cosx] =√2sin(π/4+x) cosx-sinx=√2[(√2/2)cosx-(√2/2)sinx] =√2[sin(π/4)cosx-cos(π/4)cosx] =√2sin(π/4-x) 辅助角公式 cosx+sinx=√2sin(π/4+x) cosx-sinx=√2sin(π/4-x) 
好了，现在我们可以来解决一开始提到的问题了。 求证：sin(cosx)＜cos(sinx) 证明：sinx∈[-1,1]，sinx在[-π/2,π/2]上单调递增 ①sinx∈[0,1] π/2-sinx∈[π/2-1,π/2]⊆[-π/2,π/2] cosx∈[-1,1] 注意到π/2≈3.14/2=1.57＞1 cosx∈[-1,1]⊆[-π/2,π/2] cosx+sinx=√2sin(π/4+x)≤√2 √2≈1.414＜π/2 cosx+sinx≤√2＜π/2 cosx＜π/2-sinx 我们得出了cosx与(π/2-sinx)的取值均在区间[-π/2,π/2]内，并且cosx＜π/2-sinx 根据sinx在[-π/2,π/2]上单调递增，可得 sin(cosx)＜sin(π/2-sinx)=sin(cosx) sin(cosx)＜cos(sinx) 
②sinx∈[-1,0] π/2+sinx∈[π/2-1,π/2]⊆[-π/2,π/2] cosx∈[-1,1]⊆[-π/2,π/2] cosx-sinx=√2sin(π/4-x)≤√2＜π/2 cosx＜π/2+sinx 我们得出了cosx与(π/2+sinx)的取值均在区间[-π/2,π/2]内，并且cosx＜π/2+sinx 根据sinx在[-π/2,π/2]上单调递增，可得 sin(cosx)＜sin(π/2+sinx)=sin(cosx) sin(cosx)＜cos(sinx)，证毕！ 最后，我们举几个例子用计算器验证一下 sin[cos(π/4)]=0.6496… 
cos[sin(π/4)]=0.7602… 
sin(cos1)=0.5143… 
cos(sin1)=0.6663.… 
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