三次方程不可解问题
在很久以前，人们认为三次方程的通解几乎是不可能的，但有一天我们放弃了数学是反应现实的要求这一原则，情况也随之起了变化。
数学最初是在量化世界、测量土地、以及预测行星运动中发展的，然后出现了一个被认为不可能求解的问题：三次方程。几千年来，从巴比伦人到波斯人的古代文明都试图找到一个通用的解决方案，但都徒劳无功。
1494年，达芬奇的数学老师卢卡·帕乔利（Luca Pacioli）出版了当时文艺复兴时期意大利已知的所有数学的全面总结。
在其中，他得出结论：三次方程通解是不可能的。这应该至少有点令人惊讶，因为如果没有x的三次项，方程只是一个二次方程，许多古代文明在几千年前就已经解决了这个问题。
古代侧重几何数学的局限性
在数学发展的早期还没有数学方程式的出现，那时人们记录数学主要是通过文字和图片以及几何推理。
例如，要求解二次方程x² + 26x = 27，古代数学家会将x²项视为边长为x的正方形，将 26x项视为一边长为 26 、另一边长为x的矩形。
然后他们可以使用所谓的“完全平方”的技术来找到方程的解。
然而，这种几何方法有其局限性。比如在这种几何方法中不会出现负数，在当时光是解二次方程，就有六个不同的版本，无一例外所有版本的系数都始终为正。
三次方程也采用了同样的方法，波斯数学家奥马尔·海亚姆(Omar Khayyam )确定了19 个不同的三次方程，同样的所有系数都为正。
突破：解决压抑的三次方
400 年后、4000 公里之外的 16 世纪，三次方程的解开始成形。博洛尼亚大学数学教授皮昂·德尔·费罗找到了一种方法，可以可靠地求解被称为“凹陷三次方程”（没有 x² 项)的解。
然而，他担心其他数学家会挑战他的地位，于是对自己的发现保密，不过他的学生尼奥·菲奥尔到处吹嘘自己能够求解三次方程，这导致他与自学成才的数学家尼科洛·丰塔纳·塔塔利亚进行了一场数学对决。
这场对决中塔塔利亚仅用两小时就解决了菲奥尔提出的全部30个问题，彻底击垮了尼奥·菲奥尔,并且进一步发展出了自己的降次三次方程求解算法，他甚至以诗歌的形式表达了这一算法以此来嘲笑尼奥·菲奥尔。
卡尔达诺与虚数的发明
当时在米兰的全才杰罗拉莫·卡尔达诺迫切希望学习塔塔利亚的方法。经过多次恳求，塔塔利亚最终透露了他的算法，但他要求卡尔达诺发誓不将方法透露给任何人，不得发表，并只能用密码的形式书写。
然而，卡尔达诺后来发现，包含x²项的完整三次方程的解可以从塔塔利亚的公式中推导出来。他对解决了数千年来困扰众多顶尖数学家的问题感到兴奋不已，他决定发表这一成果，尽管这样做会违背对塔塔利亚的誓言。
在他的著作《大艺术》中，卡尔达诺为三次方程的13种不同形式都提供了独特的几何证明。而且他在处理一些常规方法难以解决的三次方程，如x³ = 15x + 4时，发现算法得出的解中包含了负数的平方根，卡尔达诺称之为“既微妙又无用”。
虚数的突破
大约十年后，意大利工程师拉斐尔·邦贝利接过了卡尔达诺的接力棒。邦贝利没有被负数平方根和它们所暗示的不可能几何形态所吓倒，他让这些数成为了一种新型的数，他称之为“虚数”。
在接下来的一百年里，现代数学开始成形。几何不再是真理的来源，而负数的平方根，现称为“虚数”，成为了弗朗索瓦·韦达和勒内·笛卡尔引入的新代数记号的不可分割的一部分。
虚数在量子力学中的应用
虚数的发现仅仅是一个开始。1925年，埃尔温·薛定谔在寻找描述量子粒子行为的波动方程时，发现负一的平方根，或虚数i，是他方程中的基本组成部分。
尽管物理学家最初对此感到不适，但虚数的独特属性对于描述物质在量子层面的波动行为是必不可少的。如物理学家弗里曼·戴森所写：“薛定谔将负一的平方根放入方程中，突然之间一切都讲得通了。突然之间，它变成了一个波动方程而不是一个热传导方程。薛定谔惊喜地发现，方程的解对应于玻尔原子模型中的量子化轨道。事实证明，薛定谔方程正确描述了我们对原子行为的所有了解。它是所有化学和大部分物理学的基础。而负一的平方根意味着自然界是以复数而非实数来运作的。这一发现对薛定谔和其他人来说都是一个完全的惊喜。”
从只有放弃数学与现实的联系，我们才能通过它指导我们深入了解宇宙的运作方式。虚数的发明，源于解决看似不可能的三次方程，最终导致了我们对量子力学的现代理解，这是我们现代技术和科学理解的基础。
