一般微分几何：等变流形

概要：等变流形是带光滑群作用的流形。如果一个等变流形只有一个轨道，我们就称之为齐流形，可以证明齐流形等价于Lie群的陪集空间。

注：在往下阅读之前，你需要知道什么是《李群》。

目录：

• -等变流形

• 轨道与不变子集

• 齐流形和等变嵌入

• 陪集空间

• 稳定子子群

• 陪集空间是齐流形

• 附录

• 作者的话

-等变流形

等变流形是对称性的基本研究对象，比如经典力学研究的「时+空」是伽利略群-等变流形，狭义相对论研究的是洛伦兹群-等变流形——它们研究的「流形」是“一样的”，都是，区别在于选择的对称性——群（和群作用）——不同。

注：从这个角度也可以解释为什么「规范对称性」不是对称性，未来的文章会讲这个话题的。

一个流形配上Lie群的光滑群作用称为-等变流形，简称-流形（或者-空间）。

那么什么是光滑群作用呢？首先是一个群作用，即满足映射

是一个群同态。但是由于光滑自同构群一般没有流形的结构，我们需要考虑积流形的光滑结构【还没讲，未来补上】，进一步要求是一个光滑映射。

注：实际上我们在《纤维丛》一文中使用过一样的方法。

注：在不会引起误会的情况下，常常被简写作。

考虑两个-等变流形，，我们可以定义从到的-等变映射（equi-variant），简称等变映射，，对任意的，满足

即满足交换图，

考虑Lie群映射，-等变映射可以推广为-等变映射，交换图为

这里就不多谈论了。

轨道与不变子集

考虑-等变流形，取点，我们把

称为的一条（过点的）-轨道（orbit）【注】，可以证明：

“

任意两条（不同的）轨道都没有交集

---

证明：假设两轨道交于点，那么

【注】：按照惯例，所有的「-」都可以简写成「-」乃至直接省略，以后就不赘述了。

如果轨道是一个单点集，我们就称这个点为-不动点。不是所有的等变流形都有不动点，比如欧几里得空间和它的平行移动群作用。

另一方面，考虑的子集，如果满足

其中，我们就称是一个-不变子集（invariant）；此时我们可以把群作用「限制」到上，得到上的群作用。

首先轨道是“最简单的”，准确的说是「单的」（simple），不变子集——所有的不变子集都是轨道的（不交）并集。

如果是一个有限群（离散拓扑、流形结构），那么轨道是有限集，自然是闭子集（这是因为流形是Hausdorff空间，因此是T1的）；对于更一般的情况，轨道不一定是闭子集，但一定是局部闭子流形。

要证明它，首先考虑轨道的闭包，我们要证明它是一个不变子集合：取点，考虑点列趋于点，对任意的作用

由于，它的极限。上述论断证明了一个更强的定理：

“

不变子集的闭包也是不变子集。

回到轨道的闭包，轨道的补集是一个不变子集，它的闭包同样也是，因此它要么是要么是和其他轨道的并集，而唯一不在中的轨道只有，因此，所以是的开子集，即：

“

轨道是其闭包的开子集。

这个性质比局部闭更强。

【注】：我感觉轨道（和它的闭包）应该是子流形，但是微分几何里面证明子流形比较麻烦所以我就不细究了；在代数几何中，（线性）代数群都是光滑的，它的轨道也一样，因此可证。

齐流形和等变嵌入

我们把只有一个轨道的等变流形称为齐流形（homogenous），对应的群作用被称为贯通的【注】（transitive）；等价的，齐流形上的任何两点都能被群作用交换，这说明任何两点（在对称性下）都无法区分，因此得名「齐」。

齐流形是最简单的等变流形，实际上等变流形不一定有有一个不变子开集，如果有且流形是连通的，那么这个不变开子集是唯一的。【删除：这是由于非开轨道的维度严格小于流形，而流形本身又是所有轨道的并集】

对于连通的-等变流形，记它的开子轨道为，我们有一个特殊的-等变映射；我们把称为齐空间的-等变嵌入。

注：作为一个集合论主义者，我会把直接称为的嵌入；如果你喜欢更一般的定义（比如范畴论主义者们），可以把推广为一般的开嵌入等变映射。

如果齐流形的等变嵌入只有一个闭子轨道，我们就称它为单等变嵌入（simple）【注】，简称单嵌入；一般来说我们会认为除了之外还有其他的轨道，不过即使是平庸的嵌入也被视为单嵌入。

【注】：我是从spherical varieties里见到这个术语的，不确定微分几何里面有没有类似的说法。

齐流形的任何一个等变嵌入都以写成单嵌入的粘合。

注：这是toric和更一般的spherical varieties的基本思想，我估计过两周会写成星球文章吧。

陪集空间

稳定子子群

考虑-等变流形，取点，如果群元对无作用，即，就称之为在点处的稳定子（stabliser）【注】，把全体在点处的稳定子的集合称为在点处的稳定子子群，记做。

【注】：叫这个名字有些作者会把-不变性称为-稳定性。我不打算引入这个词语是因为……叫稳定性的东西太多啦！

正如其名，稳定子子群确实是的闭子群/子Lie群：

“

证明：如果都是的稳定子，那么，。另一方面考虑光滑映射

即，那么，自然是闭子集。

但稳定子子群是不一定是正规子群。

因此我们有了Lie群作用版本的轨道-稳定子定理：

“

（在集合论意义下，）映射

是一个双射。

群论复习：考虑群和它的子群，（左）陪集空间的定义为

是一个集合的集合。

轨道是一个齐流形；更明确的，我们把选定了一个点的齐流形称为赋点齐流形（pointed）。本文的剩余部分将证明赋点齐流形等价于Lie群的陪集空间。

注：在很多场合下我们提到的齐流形其实指的是赋点齐流形，这其实是违背了齐流形的本意的，需要甄别。

陪集空间是齐流形

我们已经证明了稳定子子群是闭子群/子Lie群；反过来说，Lie群的任何一个闭子群/子Lie群，都能找到一个赋点齐流形使得是等变流形在点处的稳定子子群。

直接证明是一件很复杂的事情（用范畴论/万有性质大概会方便一点），因此我们换一种方式：

“

构造陪集空间的赋点齐流形结构。

作为集合，我们可以用-左乘法（这是因为我们取的「陪集」是「左陪集」），来定义群作用：

这个定义是良定义的/合法的，因为考虑，我们有

更进一步的，由于左乘映射是一个双射，可以证明是（群论意义下）齐的。

相比之下流形的结构就比较复杂，我将（不加证明的）使用「商流形定理」（Quotient Manifold Theorem）：

“

-等变流形的光滑群作用如果是「自由的」（free）而且「严格的」【注】（proper），那么商集合就是一个流形。

【注】：proper的意思是“紧集的逆像还是紧集”，我纠结了很久怎么把这个意义翻译出来，最后突然意识到，proper这个英语单词本来就没有这个意思，不可能无中生有翻出这个意思来的。

要运用这个定理，我们取群为，-等变流形为（希望不会造成误解），陪集空间（这里是一个群）就是商流形（这里是一个流形）了。

光滑群作用，如果满足任意点处的稳定子子群都是平庸的，换言之任何一个群元作用都没有不动点，我们就称它为自由的；对的左乘作用是自由的，限制到之后，自然也是自由的。

光滑群作用的关系映射【注】

如果是一个严格映射（紧集的逆像还是紧集），那么我们就称群作用是严格的；

【注】：叫这个名字是因为这个映射的像（值域）定义了上一个「等价关系」。

要证明关系映射

是一个严格映射，只需要证明-左乘作用的关系映射

是严格的即可（因为是的闭子集），这很显然，因为这个映射是一个双射（光滑同胚）。

附录

作者的话

这次星球文章的测试结果还算可以吧，没有天将横财也不至于冷水浇头，估计未来会多写点。

星球文章我会控制在1000字左右，甚至是500字以内，这样方便多平台同步发步；而公众号文章会尽量控制在3000字以内，理想应该是2500字以内，太多了无论对我还是对读者都比较累。