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函数的零点个数问题是高等数学的常见题型，我们已经多次讲过这类问题，今天的题目与之前的几个题目有所不同，主要体现在它与函数的定积分有关。 例57 设函数在区间上连续，且 问函数在上至少有几个零点？ 解题思路 首先我们确定对于这个问题的解答方案。 一个自然而然的思路是先来考虑较简单的情况，即利用收缩的思想方法去理解和把握问题，去猜一下答案。 首先考虑,即当在连续且时，根据积分中值定理的开区间版本，在(a,b)上至少有1个零点。 再考虑的情形，即当在上连续且 时，在上至少有几个零点呢？由对的分析知道存在使得,是否还有不同于的另外零点呢？猜想应该有！ 我们用反证法论证。假定是在内的唯一零点，因为被积函数在区间上不变号，则必定有 但这跟题设条件矛盾，因为 从而此时至少存在两个零点. 如此，不仅, 事实上上述简单情况的讨论也蕴含着解答原题的更一般情形的某种启示。 所以，我们直接证明推广的情况。 我们现在直接证明：若函数在上连续，且有 我们来证明在内至少有个零点。 若, 则结论成立。 现设. 用反证法，假设在内至多有个零点。由知，在必不能保持同号，于是必存在个零点 将分为个小区间 使在每个小区间上不恒等于0且不改变符号，但在相邻的两个小区间上符号相异。 引入函数 易见在每个小区间内恒正或恒负且在相邻的两个小区间内符号相异。于是函数 把多项式展开观察，利用已知条件，同样易得 这样我们也就推出了矛盾。 所以我们断言，在至少有个零点。 最后我们回归原题目，可知在上至少有4个零点。 最后我们指出，上例可以进一步推广为： “若在上连续且, 则在内有无穷多个零点.” 它的证法和本例一样，利用魏尔斯特拉斯逼近定理，我们进一步还可以推出在上恒为零。 这个题目的解题思路非常典型，大家可以认真地体会思考和推广的过程。 |
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