在等边△ABC中,点D是射线CB上一点,连接AD,将△ABD沿AD翻折得到△AED,连接CE, (1)如图1,点D在线段BC上,∠BAD=10°,求∠BCE的度数; (2)如图2,点D在线段CB的延长线上,AD交CE于点F,连接BE交AD于点G,猜想线段AF、FG和CF之间的数量关系,并说明理由; (3)如图3,将AD绕点A逆时针旋转90°得到AM,连接BM,若AB=2,当AM+BM的和取得最小值时,请直接写出△AED的面积. 解:(1)方法一:由折叠的性质知∠AED=60°,而∠ACD=60°,故A、C、E、D四点共圆,∠BCE=∠DAE=10° 方法二:由折叠的性质知AE=AB,而AB=AC,得AE=AC,同时∠EAC=40°,得∠ACE=70°,故∠BCE=10° (2) CF=2GF+AF 连接BF,设∠ADB=ɑ,则可得∠BAD=60°-ɑ,AE=AC得∠AEC=∠ACE=ɑ,由等腰三角形的对称性可知∠ABF=ɑ,而∠ABG=30°+ɑ,得∠GBF=30°,故BF=2DF, 同时∠AFB=120°,∠ACB=60°,由邻边相等对角互补模型得AF+BF=CF,即有2GF+AF=CF (3) 在FB的延长线上取点H,使BH=AF,连接CH,∠CBH+∠CBF=180°,∠CBF+∠CAF=180°得∠CAF=∠CBH,又CB=CA得△CAF≌△CBH,故CF=CH,∠ACF=∠BCH,又∠ACF+∠BCF=60°,得∠BCH+∠BCF=60°,即∠FCH=60°,△CFH为等边三角形,故CF=FH,于是CF=2GF+AF 点评:标记角度对导角有非常大的帮助,同时对模型的熟悉同样非常重要. (2) 将线段AB绕点A逆时针旋转90°至AF,连接MF,易知△ABD≌△AFM,∠AFM=∠ABD=60°,延长MF交BC延长线于点N,∠AFN=120°,得∠FNC+∠BAF=180°,故∠FNC=90°,即说明点M的轨迹为NR,且垂直于BC(如下图) 取点A关于RN的对称点A′,连接AM得AM=AM′,BM+AM=BM+AM′,明显当B、M、A′共线时取最小值; 此时,IN=AI=,FN=CN=,而得MN= 得MF=,SADE= 点评:题目的关键在于M的轨迹,转化为将军饮马问题,题目所处的背景是让多数同学找不到方向的关键因素.单独拿出来考查,也是可以的. 经过了多年的积累和沉淀,《中考压轴专题》隆重推出,本书包含6个大专题,每个专题下包含多个考点和题型,力求覆盖所有压轴题型.题目取自中考真题、平时模拟真题中的压轴题、经典题,可帮助同学们精准训练,提升解题能力. |
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