试题内容
解法分析(1)特殊位置
★全等三角形
根据AAS证明：△AOC≅△BOD，
∴OC=OD. 
★平行线分线段成比例
易证：AC∥BD，
∴==1，
∴OC=OD. 解法分析(2)一般位置
★辅助线添加思路：还原图1，利用斜边中线定理解题.
方法1：延长CO交BD于点E.
易证：AC∥BD，
∴==1，
∴OC=OE，即点O是CE的中点，
又∵∠CDE=90°，
∴OD=CE=OC.
方法2：分别延长AC、DO，交于点E.
易证：AE∥BD，
∴==1，
∴OE=OD，即点O是DE的中点，
又∵∠DCE=90°，
∴OC=DE=OD. 
★辅助线添加思路：利用垂直平分线的性质解题.
方法3：作OE⊥CD于点E.
易证：AC∥OE∥BD，
∴=，=，
∵OA=OB，
∴=，
∴EC=ED，
∴OE垂直平分CD，
∴OC=OD. 
方法4：作OE⊥CD于点E，连接AE并延长，交BD于点F.
易证：AC∥OE∥BD，
∴==1，
∴==1，
∴EC=ED，
∴OE垂直平分CD，
∴OC=OD. 
方法5：作OE⊥CD于点E，连接BE并延长，交CA的延长线于点F.
易证：FC∥OE∥BD，
∴==1，
∴==1，
∴EC=ED，
∴OE垂直平分CD，
∴OC=OD. 
解法分析(3)当点P在OA上时
★分类讨论
若△POC是等腰三角形，
1.当OP=CP时：
∠POC=30°. 2.当OC=PC时：
∠CPO=75°<∠ACP，(外角<不相邻的内角)
∴此情况不成立. 3.当OP=OC时：
∠CPO=30°<∠ACP，(外角<不相邻的内角)
∴此情况不成立. ★计算部分
方法1：类比迁移(左图)
延长CO交BD于点E.
易证：AC=BE，点O是CE的中点，
∴DE=BD-AC=2，
∴CE=4，
∴OC=2，
∴OP==. 
方法2：锐角三角函数(右图)
易证：∠BPD=∠APC=60°，
∴BP=，AP=，
∴2OP=BP-AP===，
∴OP=. 当点P在OB上时
★分类讨论 
若△POC是等腰三角形，
1.当OP=CP时：
∠POC=30°<∠ACO，(外角<不相邻的内角)
∴此情况不成立. 2.当OC=PC时：
∠COP=75°. 3.当OP=OC时：
∠CPO=30°=∠ODP，(外角=不相邻的内角)
∴此情况不成立. ★计算部分
方法1：类比迁移(左图)
延长DO交AC于点E，作PF⊥OD于点F.
易证：∠ODC=30°，∠DOP=45°，AE=BD，
∴CE=AC-BD=2，
易求得：CD=2，PC=OC=2，
∴DP=CD-PC=2-2，
∴FP=DP=-1，
∴OP=FP=-. 
方法2：锐角三角函数*(右图)
易证：∠APC=∠BPD=75°，
∴AP=，BP=，
∴2OP=AP-BP===2(-)，
∴OP=-. 综上所述：OP的长为或-. sin75°的几何求法*
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=75°，BC=1.
易求得：AC=2+，
由勾股定理得：
AB=
=
=
=+，
∴sin75°==.
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