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讲解今天的内容，先讲解一种数学思想“转化与化归”。 转化与化归，是在解决问题时，化未知为已知，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化抽象为具体，化实际问题为数学问题的一种数学思想方法，它具有普遍适用性，在解决问题时几乎无处不在。 化归思想包含三个要素：化归对象、化归目标和化归途径。正确运用化归思想，需要理解化归对象，明确化归目标，探究化归途径。
 |  | | 基本图形1 | 基本图形2 |
由此衍生出以下5个问题： （以下作图，黑色的点表示“定点”，红色表示“动点”）作B关于直线的对称点B'，即PA+PB=PA+PB'，所以一般情况下，求（PA+PB）最小值，等同于（PA+PB’）最小值。以上是将军饮马的基本图形，由这个图形可以衍生出几种基本变化：问题描述：PQ为定长线段，在直线l上运动；求线段PQ运动到哪里，（PA+PQ+QB）最小？问题解决：如何通过化归思想将上面的图转化成我们的基本图形1？①基本图形1中，只有一个动点P，但是这里有两个动点P、Q；②“化陌生为熟悉”，如果两个动点变成一个动点，这个问题就解决了；③此时利用几何三大变换里面的“平移变换”，将问题②得到解决，只是平移的时候，需要整体平移。④将动点Q平移到动点P，平移了距离d，同时定点B也延相同方向平移相同距离，则QB=PB'，此时（PA+PQ+QB）等同于（PA+PQ+PB'）；⑤又因为PQ=d为定值，所以（PA+PQ+QB）最小=（PA+QB）最小+d=（PA+PB'）最小+d。当A、P、B'三点共线时，取到最小值。以上，通过平移转化，将这个问题转化成了基本图形1.但同时，在这类问题中，一般出题再增加上对称变换，让问题稍显复杂，但我们的思路没有变，还是逐步“化陌生为熟悉”，比如下图的变化：
问题描述：PQ为定长线段，在直线l上运动；求线段PQ运动到哪里，（PA+PQ+QB）最小？问题解决：只是在上面的问题中增加了一步，对称变化。问题描述：动点P、Q分别在直线l1和l2上运动；求P、Q运动到哪里，（PA+PQ+QB）最小？这个问题很好解决，即当A、P、Q、B四点共线时，取得最小值。
问题描述：直线l1∥l2，PQ为定长线段且垂直于两条直线；求线段PQ运动到哪里，（PA+PQ+QB）最小？问题解决：如何通过化归思想将上面的图转化成我们的基本图形1？①基本图形1中，只有一个动点P，但是这里有两个动点P、Q；只有一条直线，这里有两条直线。②“化陌生为熟悉”，如果两个动点变成一个动点，两条直线变成一条直线，这个问题就解决了；在这里这类题型能同时处理这两个问题是因为特殊性，直线平行，线段与直线垂直。③此时利用几何三大变换里面的“平移变换”，将问题②得到解决，只是平移的时候，需要整体平移。④将直线l2平移到与直线l1重合，则此时动点Q平移到动点P，平移了距离d，同时定点B也延相同方向平移相同距离，则QB=PB'，此时（PA+PQ+QB）等同于（PA+PQ+PB'）；⑤又因为PQ=d为定值，所以（PA+PQ+QB）最小=（PA+QB）最小+d=（PA+PB'）最小+d。当A、P、B'三点共线时，取到最小值。以上，通过平移转化，将这个问题也转化成了基本图形1.在这类题型下，再增加对称变换，会构成以下几种题型。
以上三种类型的变化，仅仅只是增加了“对称变换”，核心就是“同侧变异侧”。今天针对初中阶段，一般情况下，线段和差最值问题中涉及到“基本图形1”的变化，进行了梳理，所以“万变不离其宗”，我们透过现象看本质，很多复杂的问题都能简单化。后续我们再来完善其他部分。
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