【原】几个典型的常微分方程

举出了几个在科学研究中典型的常微分方程，讨论判断这些方程的奇点的方法。

对二阶线性齐次常微分方程，我们引入了方程的常点和方程的奇点这两个概念。一般情况下，一个常微分方程的奇点的个数是有限的，只要将方程改写成标准形式，就不难求出这些奇点。

一个常见的例子是勒让德方程，这是在科学研究中经常遇到的一个常微分方程，许多微分方程经过一系列数学变换最终都可以化为勒让德方程：把这个方程改写成标准形式，就得到它的两个系数：显然，在  这两个点，两个系数不解析。对无穷远点，方程的两个系数具有以下形式：我们看到，  是其中一个系数的奇点。由此可知，勒让德方程有三个奇点：  。

另一个常见的例子是超几何方程，在某些教科书上被称为高斯方程。超几何方程也是在科学研究中经常遇到的一个常微分方程，许多实际的物理方程经过一系列数学变换最终都可以化为超几何方程：把这个方程写成标准形式，就得到它的两个系数：结果发现，  是两个系数的奇点。对无穷远点，两个以  为自变量的系数我们又得到了  这个奇点。于是，超几何方程也有三个奇点：  。

还有一个名字与超几何方程很相似的数学物理方程：合流超几何方程，在某些教科书中称之为库默尔方程。在量子力学的许多问题中出现的微分方程，都可以经过若干步数学变换后转化成合流超几何方程：把方程写成标准形式后，就可以得到它的两个系数：显然，  是该方程的一个奇点。对无穷远点，在将自变量做了变换  后，得到以  为自变量的微分方程的两个系数：结果发现，无穷远点也是方程的奇点。于是，合流超几何方程有两个奇点：  。

上面讨论的三个从物理学中总结出来的微分方程虽然来源于不同的物理问题，但是，它们之间是相互有关联的。勒让德方程与合流超几何方程都可以通过对自变量作变量替换而得到。

先来看勒让德方程。对超几何方程的自变量作如下变量替换：就可以得到以下形式的微分方程：在上面的微分方程中，只要以下条件成立：该微分方程就是以  为自变量的勒让德方程。显然，勒让德方程是超几何方程在作了上述变量替换后，同时满足上面三个条件的特例。

再看合流超几何方程。对超几何方程的自变量作如下变量替换：    ，就可以得到以下形式的微分方程：令  ，马上得到以  为自变量的合流超几何方程。在  取极限的过程中，原来  的奇点变成了  这个奇点。