【原】常微分方程的正则解

cosmos2062 2025-05-19 发布于广东

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讨论常微分方程在奇点邻域的正则解的结构。

我们已经讨论过常微分方程在常点邻域的幂级数解，在这种情况下，解函数是一个泰勒级数。有时候还需要在常微分方程的奇点的邻域求解，在这种情况下，如果还是考虑幂级数解，所得到的解函数将不再是泰勒级数，而是洛朗级数。

考察二阶线性齐次常微分方程： $\begin{equation}\notag \frac{{\rm d}^2w}{{\rm d}z^2}+p(z)\frac{{\rm d}w}{{\rm d}z}+q(z)w=0 \end{equation}$ 如果 $z_0$ 是方程的极点，则在两个系数都解析的环形区域 $0<|z-z_0|<R$ ，方程有两个线性无关解： $\begin{align} w_1(z)&=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty c_k(z-z_0)^k\notag\\ w_2(z)&=gw_1(z)\ln{(z-z_0)}+\sum\limits_{k=-\infty}^\infty d_k(z-z_0)^k\notag \end{align}$ 奇点邻域的解有可能是多值函数，方程的奇点有可能是解的奇点，还有可能是解的枝点。

一般情况下，方程的两个级数解都有无穷个正、负幂项，系数之间的递推关系将非常复杂。但是，如果解式只包含有限个负幂项，那么，总可以调整式子的结构，使级数部分没有负幂项： $\begin{align} w_1(z)&=(z-z_0)^{\rho_1}\sum\limits_{k=0}^\infty c_k(z-z_0)^k\notag\\ w_2(z)&=gw_1(z)\ln{(z-z_0)}+(z-z_0)^{\rho_2}\sum\limits_{k=0}^\infty d_k(z-z_0)^k\notag \end{align}$ 其中 $c_0\ne0\ ,\ g+d_0\ne0$ 。这种形式的解被称为正则解，具有这种性质的奇点被称为正则奇点，级数前的幂次被称为正则解的指标。

原则上说，如果要用级数展开法求解常微分方程，则需要将上述两个线性无关的级数分别代入该微分方程中，将微分方程转换成级数方程，得到系数之间的递推关系，从而求出各幂次的系数。不过，根据常微分方程的普遍理论，只要有了微分方程的其中一个解，就可以通过积分求出另一个解。因此，只需要用级数展开法求出第一个解，就无需再用级数展开法求第二个解了。

下面就来看看第二个解是怎样得到的。假定所考虑的微分方程有两个解 $w_1$ 和 $w_2$ ，由于两个解都满足该微分方程，因此，必定可以列出如下两个方程： $\begin{align} \frac{{\rm d}^2w_1}{{\rm d}z^2}+p(z)\frac{{\rm d}w_1}{{\rm d}z}+q(z)w_1&=0\notag\\ \frac{{\rm d}^2w_2}{{\rm d}z^2}+p(z)\frac{{\rm d}w_2}{{\rm d}z}+q(z)w_2&=0\notag \end{align}$ 用 $w_2$ 乘第一个方程，用 $w_1$ 乘第二个方程，把经过这样处理的两个方程相减，就得到一个新的方程： $\begin{align}\notag w_1&\frac{{\rm d}^2w_2}{{\rm d}z^2}-w_2\frac{{\rm d}^2w_1}{{\rm d}z^2}\notag\\ &+p(z)\left[w_1\frac{{\rm d}w_2}{{\rm d}z}-w_2\frac{{\rm d}w_1}{{\rm d}z}\right]=0\notag \end{align}$ 利用导数规则把两个二阶导数项稍作处理，就得到上述方程的一个变形： $\begin{align}\notag &\frac{{\rm d}}{{\rm d}z}\left[w_1\frac{{\rm d}w_2}{{\rm d}z}-w_2\frac{{\rm d}w_1}{{\rm d}z}\right]\notag\\ &\quad+p(z)\left[w_1\frac{{\rm d}w_2}{{\rm d}z}-w_2\frac{{\rm d}w_1}{{\rm d}z}\right]=0\notag \end{align}$ 注意到在上述方程中左边两个中括号内的算式是相同的，引入一个新的函数 $\begin{equation}\notag u=w_1\frac{{\rm d}w_2}{{\rm d}z}-w_2\frac{{\rm d}w_1}{{\rm d}z}=w_1^2\frac{{\rm d}}{{\rm d}z}\left(\frac{w_2}{w_1}\right) \end{equation}$ 上述二阶微分方程就变成了一个一阶微分方程： $\begin{equation}\notag u'+p(z)u=0 \end{equation}$ 它的解是显而易见的： $\begin{equation}\notag \ln{u}\sim-\int p{\rm d}z \end{equation}$ 把函数 $u(z)$ 的表达式代入上面的解式中： $\begin{equation}\notag w_1^2\frac{{\rm d}}{{\rm d}z}\left(\frac{w_2}{w_1}\right)=A\exp\left(-\int_z p(\zeta){\rm d}\zeta\right) \end{equation}$ 等式中积分符号的下标表示，在完成不定积分后，用自变量 $z$ 替换积分变量 $\zeta$ 。对上述等式再做一次积分，就得到微分方程的第二个解的表达式： $\begin{equation}\notag w_2(z)=Aw_1(z)\int_z\left[\frac{{\rm d}t}{w_1^2(t)}\exp\left(-\int_t p(\zeta){\rm d}\zeta\right)\right] \end{equation}$ 以上是求解常微分方程的第二个解的一般程序，具体的求解操作待解决实际问题时再讨论。