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从“探究发现”到“数学建模”
——段安阳老师《连接图形中的规律》片段赏析 去年夏天，听取了无锡市数学名教师段安阳老师执教的北师版四年级《图形中的规律》一课。段老师大胆放手让学生进行一次又一次的探究活动，并巧妙进行引导学生借助实验，列表整理信息，寻找规律，教学效果很好。选取几个片段，与大家分享。 【片断回放】： 师：我们拿火柴棒做实验。从简单想起，搭一个三角形用几根火柴棒？连搭两个三角形呢？ 师：为什么不是6根？ 生：因为它们是连起来的，可以省掉一根。 师：那根既是第一个三角形的……（生接着说：一条边，也是第二个三角形的一条边）（动画出示那条边） 师：这条边称为公共边。再搭出第三个三角形又用了几根火柴棒？一共用了多少根？照这样从左往右，一共摆出10个三角形一共需要多少根火柴棒？ 两人合作，摆一摆，把记录单填写完整。（注意一人摆，一人记）
学生操作，摆三角形，依次完成表格填写，交流反馈。 师：观察上表，你有什么发现？ 生1：摆一个三角形要三根，接下来摆两个三角形就是3＋2根。 生2：我发现每次摆了以后都是增加2根。 生3：都是单数。 生4：有几个三角形就有几个三根，然后再减去三角形的个数再减去一。 师：我们摆十个三角形用21 根火柴棒，大部分同学一边摆一边数，如果要摆100个、1000个这样连接的三角形，你还愿意这样一边摆、一边数吗？那怎么办？ 生5：用摆的图形减1，然后乘以2，再加3。 师：让我们来验证他的解法。以摆10个这样的连接三角形为例，用了多少根火柴棒？ 生：3×10－9＝21根。（板书） 师：你为什么先3×10？ 生：先假设摆10个独立的三角形。（师演示课件） 师：一共需要去掉重复的9根火柴棒。公共边的条数和三角形的个数有什么关系？还有不同的想法吗？ 生：3＋9×2＝21根。（板书），先算出摆一个三角形需要三根，接下来还要摆9个三角形，因为有一条公共边，所以每个三角形只要2根。（师演示） 师：实际这种想法是先分类，把第一个三角形放边上，第一个三角形和后面的9个三角形不一样。分类思想在数学中经常会用到。还有不同想法吗？ 生：2×10＋1。先把它想成每次都要加2根，然后摆10个就要摆10个2根，原来一个要3根，还要再加1根。 师：这种思想是找第一个三角形和后面9个三角形的共同点。刚才我们用不同的思路来研究解决这个问题，得到的结果都是一样的。所以，我们要学会从不同的角度来分析问题。现在，假如要搭N个三角形要多少根小棒？你会用含有字母的式子表示火柴棒的根数吗？ 生1：N×2＋1 生2：3N－(N－1) 生3：3＋(N－1)×2 师：这三种方法求出的结果相等吗？你愿意用哪一种方法来算？ 师：聪明的小猴找来4根木棒，搭成一个正方形，把它固定在树枝上，接着往下搭梯子，第二个正方形用了几根木棒？第三个正方形呢？第四个呢？ 课件演示，学生观察。 师：像这样用木棒搭连接的正方形是不是也像刚才摆连接的三角形一样有规律呢？一个正方形用4根，两个连接的正方形用几根？（7根）三个用几根？（10根）……摆10个这样连接的正方形需要多少根？（31根） 师：31根，是怎么算的？需要动手摆小棒吗？ 生1：1＋3×10 生2：4＋9×3 生3：4×10－9 师：我们可以根据正方形的个数求出所用小棒的根数。照这样搭N个正方形呢？ 生：1＋3N 师：46根火柴棒够搭几个正方形？ 生：15个正方形。先用46－4＝42根，42÷3＝14个，14再加1等于15个。 师：先把第一个4 根减掉，这是一种思路。还有其他不同的思路吗？ 生：46－1＝45根，45÷3＝15个。 师：刚才我们用数形结合的方法来摆小棒，用列表的方法来整理，探究了连接的三角形和正方形中的规律。像这样连接图形中的规律有什么联系吗？ 生1：三角形和正方形中都是只有一条公共边。 生2：“1＋2N”中的“1”就是连接三角形中的一条公共边，“2”是表示第一个三角形之后每个三角形只需要两条边。 生3：“1＋3N”中的“1”就是连接正方形中的一条公共边，“3”是表示第一个正方形之后每个正方形只需要三条边。 师：大家的发现非常正确，同时把两种连接图形有机地联系起来分析研究，找到它们中间的内在联系，这是一种非常有效的数学学习方法。连接的正五边形、六边形你会用含有字母的式子表示其中的规律吗？ 生：正五边形边的条数是1＋4N，正六边形边的条数是1＋5N。 师：也就是1+（正多边形边数-1）×N。 【赏析】： 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。该环节的教学，从“探究发现”到“数学建模”，有这样几个明显的特点： 一、组织有效探索。课始，段老师用学生习以为常的火柴棒搭三角形来做实验，组织学生进行有效探索，搭三角形的个数与用火柴棒的根数之间的联系。在此学习过程中，教师借助于操作，有意识地引导学生从实际动手操作搭三角形，到通过观察小猴用木棒搭连接的正方形的过程，循序渐进，引导学生从不同的角度寻找规律。通过学生的实物展示和形象直观的动画演示，从简单的一个三角形、一个正方形到10个、N个三角形、N个正方形，让学生感悟连接图形中的规律。 二、重视比较发现。操作是思维的基础和源泉，是学生获取新知的主要途径之一。在小组合作学习过程中，教师注意在操作的同时，重点引导学生观察。借助表格的填写，交流自己的比较发现。在引导学生探究摆10个三角形需要多少根火柴棒的过程中，学生摸索出了多种方法，教师能抓住关键，从一般的解法寻求用含有字母表示的方法，帮助学生理解真正的含义。在前后两次探究活动中，教师不仅进行了同一种连接图形不同解法的比较，还进行了三角形与正方形连接图形的方法的比较，在比较中发现，在发现中验证规律，发展数学思考。 三、提供方法支撑。新课程强调：数学学习应该是一个思维活动，而不是一个程序操练的过程。在上述环节中，教师一方面重视学生的自主学习，自主发现，同时，提供了恰当的方法支撑。从操作活动中表格的设计，分类思想的引导，从简单的三角形、正方形到研究复杂的用字母来表示图形的个数，体会数形结合的基本方法和价值，体会列表整理解决问题的策略。在操作中所获得的形象和表象及时推动着学生进行分析、综合、比较、抽象、概括，从而引导学生体会不同连接图形的联系与综合，不断丰富学生对数学思想方法的体验，积累对基本数学思想方法的认识，深刻理解连接图形的本质规律。 -----该文已发表于《中国教师报》2010年3月17日 (教学实录详见http://duan710719.blog.163.com/blog/static/6442883120099158532284/)
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