京翰提示:圆作为初中数学中重要的知识点,在历年高考题中都出现在重要的得分点高的部分,尤其是压轴题中,有些同学往往认为压轴题一定是很难很难得到分数的部分,其实在题目中往往前一到两个小题都是考察大家的基础知识,只要正确列出公式就能得到相应的分数。要学好圆的部分,不仅要靠平时的练习,最重要的还是回归课本,把基础知识参透,只有基础牢固了,才能进一步对圆的认识进行延伸和扩展。 1 如图,将△AOB置于平面直角坐标系中,其中点O为坐标原点,点A的坐标为(3,0),∠ABO=60°. (1)若△AOB的外接圆与y轴交于点D,求D点坐标. (2)若点C的坐标为(-1,0),试猜想过D、C的直线与△AOB的外接圆的位置关系,并加以说明. (3)二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上,求此函数的解析式. 2 如图(4),正方形的边长为1,以为圆心、为半径作扇形与相交于点,设正方形与扇形之间的阴影部分的面积为;然后以为对角线作正方形,又以为圆心,、为半径作扇形,与相交于点,设正方形与扇形之间的阴影部分面积为;按此规律继续作下去,设正方形与扇形之间的阴影部分面积为. (1)求; (2)写出; (3)试猜想(用含的代数式表示,为正整数). 3 (10分)如图,点I是△ABC的内心,线段AI的延长线交△ ABC的外接圆于点D,交BC边于点E. (1)求证:ID=BD; (2)设△ABC的外接圆的半径为5,ID=6,,,当点A在优弧上运动时,求与的函数关系式,并指出自变量的取值范围. 4 如图,点A,B,C,D是直径为AB的⊙O上四个点,C是劣弧的中点,AC交BD于点E, AE=2, EC=1. (1)求证:∽; (3分) (2)试探究四边形ABCD是否是梯形?若是,请你给予 证明并求出它的面积;若不是,请说明理由. (4分) (3)延长AB到H,使BH =OB. 求证:CH是⊙O的切线. (3分) 5 如图10,半圆O为△ABC的外接半圆,AC为直径,D为上的一动点. (1)问添加一个什么条件后,能使得?请说明理由; (2)若AB∥OD,点D所在的位置应满足什么条件?请说明理由; (3)如图11,在 (1)和(2)的条件下,四边形AODB是什么特殊的四边形?证明你的结论. 6 6 如图1,已知正方形ABCD的边长为,点M是AD的中点,P是线段MD上的一动点(P不与M,D重合),以AB为直径作⊙O,过点P作⊙O的切线交BC于点F,切点为E. (1)除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外,图中还有哪些相等的线段(不能添加字母和辅助线)? (2)求四边形CDPF的周长; (3)延长CD,FP相交于点G,如图2所示. 是否存在点P,使BF*FG=CF*OF?如果存在,试求此时AP的长;如果不存在,请说明理由. 7 如图,在平面直角坐标系中,是轴正半轴上一点,与轴的正半轴交于两点,在的左侧,且的长是方程的两根,是的切线,为切点,在第四象限. (1)求的直径. (2)求直线的解析式. (3)在轴上是否存在一点,使是等腰三角形,若存在请在图2中标出点所在位置,并画出(要求尺规作图,保留作图痕迹,不写作法,不证明,不求的坐标)若不存在,请说明理由. 1 解:(1)连结AD. ∵∠ABO=60°, ∴∠ADO=60°…..1分 由点A的坐标为(3,0)得OA=3. ∵在Rt△ADO中有 cot∠ADO=,…………….2分 ∴OD=OA·cot∠ADO=3·cot60°=3×=. ∴点D的坐标为(0,)……………3分 (2)DC与△AOB的外接圆相切于点D,理由如下: 由(1)得OD= ,OA=3. ∴. 又∵C点坐标是(-1,0), ∴OC=1. ∴………………4分 ∵AC=OA+OC=3+1=4, ∴CD2+AD2=22+(2)2=42=AC2…………………5分 ∴∠ADC=90°,即AD⊥DC. 由∠AOD=90°得AD为圆的直径. ∴DC与△AOB的外接圆相切于点D……………6分 (说明:也可用解直角三角形或相似三角形等知识求解.) (3)由二次函数图象过点O(0,0)和A(3,0), 可设它的解析式为 y=ax(x-3)(a≠0). 如图,作线段OA的中垂线交△AOB的外接圆于E、F两点,交AD于M点,交OA于N点. 由抛物线的对称性及它的顶点在圆上可知,抛物线的顶点就是点E或F. ∵EF垂直平分OA, ∴EF是圆的直径. 又∵AD是圆的直径, ∴EF与AD的交点M是圆的圆心………….7分 由(1)、(2)得OA=3,AD=2. ∴AN=OA=,AM=FM=EM=AD=. ∴. ∴FN=FM-MN=-=,EN=EM+MN=+=. ∴点E的坐标是( , ),点F的坐标是( , -)……..8分 当点E为抛物线顶点时, 有(-3)a=, a=. ∴y=x(x-3). 即y=x2+2x…………………………9分 当点F为抛物线顶点时, 有(-3)a=-, a=. ∴y=x(x-3). 即y=x2x. 故二次函数的解析式为y=x2+2x或y=x2x ….10分 2 (1); 2分 ; 4分 ; 6分 (2); 8分 (3)(为正整数). 10分 3 (1) 证明: 如图, ∵ 点I是△ABC的内心, ∴ ∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI. ………………2分 ∵ ∠CBD=∠CAD, ∴ ∠BAD=∠CBD. ……………………………3分 ∴ ∠BID=∠ABI+∠BAD =∠CBI+∠CBD=∠IBD. ∴ ID=BD. ………………………5分 (2)解:如图, ∵∠BAD=∠CBD=∠EBD, ∠D=∠D, ∴ △ABD∽△BED. …………………………7分 ∴ . ∴ . …………………8分 ∵ ID=6,AD=x,DE=y,∴ xy=36. ………………9分 又∵ x=AD>ID=6, AD不大于圆的直径10, ∴ 6<x≤10. ∴ 与的函数关系式是.() …………………………10分 说明:只要求对xy=36与6<x≤10,不写最后一步,不扣分. 4 (1)证明:∵C是劣弧的中点, ∴. 1分 而公共, ∴∽. 3分 (2)证明:连结,由⑴得, ∵, ∴ . ∴ . 4分 由已知,∵是⊙O的直径, ∴ , ∴. ∴, ∴, ∴四边形OBCD是菱形. ∴, ∴四边形ABCD是梯形. 5分 法一: 过C作CF垂直AB于F,连结OC,则 ∴. 6分 ∴,, ∴. 7分 法二:(接上证得四边形ABCD是梯形) 又 ∴,连结OC,则,和的边长均为的等边三角形 6分 ∴, ∴ 7分 (3)证明:连结OC交BD于G由(2)得四边形OBCD是菱形, ∴且. 8分 又已知OB=BH , ∴. 9分 ∴ , ∴CH是⊙O的切线. 10分 5 解: (1)添加 AB=BD 2分 ∵AB=BD ∴= ∴∠BDE =∠BCD 3分 又∵∠DBE =∠DBC ∴△BDE∽△BCD ∴ 4分 (2)若AB∥DO,点D所在的位置是的中点 5分 ∵AB∥DO ∴∠ADO =∠BAD 6分 ∵∠ADO =∠OAD ∴∠OAD =∠BAD ∴= 7分 (3)在(1)和(2)的条件下,. ∵== ∴∠BDA =∠DAC ∴ BD∥OA 又∵AB∥DO ∴四边形AODB是平行四边形 9分 ∵OA=OD ∴平行四边形AODB是菱形 10分 6 解:(1)FB=FE ,PE=PA 2分 (2)四边形CDPF的周长为 FC+CD+DP+PE+EF=FC+CD+DP+PA+BF 3分 =BF+FC+CD+DP+PA 4分 =BC+CD+DA 5分 =×3= 6分 (3)存在. 7分 若,则 ∵ cos∠OFB= ,cos∠GFC= ∴ ∠OFB=∠GFC 又 ∵ ∠OFB=∠OFE ∴ ∠OFE=∠OFB=∠GFC= 8分 ∴ 在中 FE=FB==1 ∴ 在中 CG= ∴ ∴ 9分 ∴ 10分 7 解:(1)解方程,得, 在的左侧 , 的直径为 1分 (2)过作,垂足为, 连结,则 又 在中 的坐标为 3分 (用其它方法求的坐标,只要方法合理,结论正确,均可给分.) 设直线的解析式为 直线的解析式为 4分 (3)如图2,,,,为所求作的点,,,,为所求等腰三角形.(每作出一种图形给一分) 8分 |
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