由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组；

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组；  

代数：

    （1）由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组；

    （2）由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组。

    几何：平行线等分线段定理，三角形的中位线。

 

二. 重点、难点：

    重点：

    代数：代入消元法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组。逆用根与系数关系法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组；

    掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法。

    几何：掌握平行线等分线段定理及两个推论；初步掌握三角形中位线定理。

 

    难点：

    代数：代入消元法、逆用根与系数关系法解二元一次方程组，以及解由两个二元二次方程组成的方程组。

    几何：平行线等分线段定理及两个推论的应用；三角形中位线定理的初步应用。

 

三. 知识要点

    代数：

  1. 二元二次方程的一般形式：

   

    ——二次项（a、b、c不能同时为零）

    ——一次项

    f——常数项

  2. 二元二次方程组

   

    或

  3. 解二元二次方程组

    基本思想：消元降次

    基本方法：代入消元，加减消元法

 

    几何：

  1. 平行线段等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

    推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。

    推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。

  2. 三角形中位线定理：

    三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

 

【典型例题】

  例1. 解方程组

    （1）            （3）

    （2）                              （4）

    分析：（1）用代入消元法，（2）（3）（4）可用代入消元法，也可逆用根与系数关系。

    解：（1）

    由(1)，得

    把(3)代入(2)，得

    解之得

    把代入(3)，得

    把代入(3)，得

    所以原方程组的解为

   

    （2）方法一：代入消元法

   

    由(1)，得

    把(3)代入(2)，得

    解之得

    把代入(3)，得

    把代入(3)，得

    所以原方程组的解为

    方法二：逆用根与系数关系

    把x，y看成方程的两根，解这个方程即得x、y。

    解得

   

    （3）逆用根与系数关系

   

       即

    又

    原方程组变形为

    把x、y看成方程，即的两个根

    解得

    原方程组的解为

    （4）可变形为

    可变形为

    所以原方程组变形为

    令，则方程组进一步变形为

    把x、z看成方程即的两根，解之得

   

    所以原方程组的解为

 

  例2. 解方程组

   

    解：由(2)，得

    或

    原方程组可化为两个方程组

   

    用代入法解这两个方程组，得原方程组的解为

   

 

  例3. 画出一条线段AB，用作平行线的方法将它4等分。

    解：

    （1）作射线AC

    （2）在AC上，取任意长截取AD=DE=EF=FG

    （3）连接GB，过F、E、D分别作FF’、EE’、DD’//GB，交AB于D’、E’、F’，点D’、E’、F’即为线段AB的4等分点。

 

  例4. （2004年海淀中考题）

    如图，在中，D、E分别为AB、AC边的中点，若DE＝3，则BC边的长为__________

    解：由题意知DE是的中位线，由中位线定理知

   

 

【模拟试题】（答题时间：20分钟）

  1. 解方程组

    （1）           （2）

    （3）

  2. 已知的周长为24cm，若D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点，求的周长。

【试题答案】

  1. （1）

    （2）

    （3）

  2. 的周长为12cm