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[论文作者：李鹤鸣][论文发表][论文摘自：读写算2011年39期] 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出了其他一些条件的函数.它是高中数学函数部分的难点之一.解决这类问题既能全面考查学生对函数概念的理解及性质的推理和论证能力,又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力.因此,这类题型备受高考命题者的青睐.本人根据几年来的教学经验,从几个角度阐析求解抽象函数问题的策略. 一、利用特殊模型 有些抽象函数问题,用常规解法很难解决,但与具体函数“对号入座”后,问题容易迎刃而解.这种方法多用于解填空题、选择题、解答题的解题后的检验,但解答题的解答书写过程一般不能用此法. 例1:若函数f(x)与g(x)在R上有定义,且f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),f(-2)=f(1)≠0,则g(1)+g(-1)=________. 解:因为f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),这是两角差的正弦公式模型,又f(-2)=f(1)≠0,则可取 于是:f(-1-1)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1) 例2:设函数f(x)是定义在R上的减函数,且满足f(x+y)=f(x)f(y),f(-3)=8,则不等式f(x)f(x-2)<的解集为_________. 解:因为函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y),这是指数函数模型, 又f(-3)=8,则可取 ∵f(x)f(x-2)< ∴＜,即＜， ∴2x-2>8,解不等式,得x>5, ∴不等式的解集为{x|x>5}. 二、利用函数性质 函数的特征是通过函数的性质反映出来的,抽象函数也不例外,只有充分利用题设条件所表明的函数的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能峰回路转、化难为易. 1.利用单调性 例3:设f(x)是定义在（0,+∞）上的增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,解不等式f(x)+f(x-8)≤2. 解∵函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1, ∴2=1+1=f(3)+f(3)=f(9), 由f(x)+f(x-8)≤2,得 f[x(x-8)]≤f(9), ∵函数f(x)是定义在（0,+∞）上的增函数, 则 ∴不等式解集为{x|8 例4:已知函数f(x)=ax5+bsinx+3,且f(-3)=7,求f(3)的值. 分析:f(x)的解析式含有两个参数a、b,却只有一个条件f(-3)=7,无法确定a、b的值,因此f(x)仍是抽象函数,但我们注意到g(x)=ax5+bsinx是奇函数,有g(-3)=-g(3). 解:设g(x)=ax5+bsinx,显然g(x)是奇函数, ∵f(-3)=7, ∴f(-3)=g(-3)+3=-g(3)+3=7g(3)=-4, ∴f(3)=g(3)+3=-4+3=-1. 3.利用周期性 例5:设函数f(x)在R上是奇函数,f(x+2)=-f(x),当0 则f(x)是以4为周期的周期函数,且是奇函数, 于是f(7.5)=f(2×4-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5. 例6:已知函数f(x)满足f(1)=2,f(x+1)=,则f(2007)=___________. 解∵ ∴f(x)是以4为周期的周期函数, 4.利用对称性 例7:已知f(x)是奇函数,定义域为{x|x∈R,x≠0},又f(x)在区间（0,+∞）上是增函数,且f(-1)=0,则满足f(x)>0的x的取值区间是___________. 解:依已知条件作出f(x)的大致图象,如图1所示,从图象中可看出,当f(x)>0时,x的取值区间是（-1,0）∪（1,+∞）. 例8:定义在（-∞,+∞）上的函数y=f(x)在（-∞,2）上是增函数,且函数y=f(x+2)为偶函数,则f(-1),f(4),f(6)的大小关系为____. 解:设F(x)=f(x+2), ∵F(x)为偶函数, ∴F(-x)=F(x),即f(2+x)=f(2-x), ∴函数f(x)的图象关于直线x=2对称, ∴f(-1)=f(5), ∵f(x)在（-∞,2）上是增函数, ∴f(x)在（2,+∞）上是减函数, ∴f(6) 三、利用特殊方法 有些抽象函数问题,用常规方法来解决往往难于奏效,但用一些非常规方法来求解,常收到意想不到的效果. 1.利用赋值法 例9:函数f(x)的定义域为R,对任意x、y∈R,都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0. （1）求证:f(0)=1; （2）求证:f(x)是偶函数; （3）① 求证:对任意x∈R,有f(x+c)=-f(x)成立;②求证:f(x)是周期函数. 解:（1）令x=y=0,则有2f(0)=2f2(0), ∵f(0)≠0, ∴f(0)=1. （2）令x=0,则有f(y)+f(-y)= 2f(0)f(y), ∵f(0)=1, ∴f(-y)=f(y), ∴f(x)是偶函数. （3）①分别用(c≠0)替换x、y,有f(x+c)+f(x)=2f()f(). ∵f()=0,∴f(x+c)=-f(x). ②由①知f(x+c)=-f(x), 用x+c替换x,有f(x+2c)=-f(x+c)=f(x), ∴f(x)是以2c为周期的周期函数. 2.利用递推法 例10:设函数f(x)的定义域为R,且对任意实数x,都有f(x)=f(x+1)-f(x+2),求证：f(x)是周期函数. 解:∵f(x)=f(x+1)-f(x+2), ∴f(x+1)=f(x+2)-f(x+3), 将以上两式相加,得f(x+3)=-f(x), ∴f(x+6)=-f(x+3)=f(x), ∴f(x)是周期函数,6是它的一个周期. 例11:f(x)是定义在正整数集的函数,且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy (x,y∈N+),f(1)=1,求函数f(x)的解析式. 解:令y=1, ∵f(1)=1, ∴f(x+1)=f(x)+f(1)+x,即f(x+1)-f(x)=x+1, 则f（2)-f(1)=2, f（3)-f(2)=3, …… f(x)-f(x-1)=x. 将以上各式相加,得f(x)-f(1)=2+3+4+…+x, ∴f(x)=1+2+3+4+…+x=x(x+1)(x∈N+). 3.利用反证法 例12:已知函数f(x)在区间(-∞,+∞）上是增函数,a,b∈R,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).求证:a+b≥0. 证明:假设a+b<0,则a<-b,b<-a, ∵函数f(x)在区间(-∞,+∞）上是增函数, ∴f(a) 例13:设函数f(x)对定义域内任意实数都有f(x)≠0,且f(x+y)=f(x)f(y)成立,求证:对定义域内任意x,都有f(x)>0. 证明:假设在定义域内存在x0,使f(x0)≤0, ∵ ∴f(x0)>0,这与假设的f(x0)≤0矛盾, 所以假设不成立,故对定义域内任意x,都有f(x)>0. 以上我们利用抽象函数的特殊模型、函数性质、特殊方法等途径举例说明了求解抽象函数问题的一些策略.事实上处理这类问题时,常将几种解题策略综合使用,“多管齐下”方能游刃有余。 |
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