角的概念与任意角的三角函数、同角三角函数关系式与诱导公式
二. 本周教学重、难点: 1. 理解任意角的概念、弧度的意义;能正确地进行弧度与角度的换算;掌握任意角的正弦、余弦、正切、余切的概念;了解余切、正割、余割的定义。 2. 掌握同角三角函数关系的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式。
【典型例题】 [例1] 角的顶点与坐标原点O重合,其始边与轴的正半轴重合。 (1)若角的终边上有一点P()()求; (2)已知角的终边上一点P的坐标为()()且,求。 解:(1) 因为 所以当时,点P在第四象限 当时,点P在第二象限 (2) 由,所以 所以当时,, 当时,,
[例2] 已知一扇形的中心角是,所在圆的半径是R,(1)若,R=,求扇形的弧长交该弧所在的弓形面积。(2)若扇形的周长是一定值,当为多少弧度时,该扇形有最大面积? 解:(1)设弧长为,弓形面积为,因为,R=10,所以
(2)因为扇形周长,所以, 所以 所以当且仅当,即(舍去)时,扇形面积有最大值
[例3] 设,,求 的值。 解:∵ ∴ ∵ ∴ 同理, ∴ 原式
[例4] 如图所示,动点P、Q从点(4,0)出发沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转弧度,求P、Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P、Q点各自走过的弧长。
解:设P、Q第一次相遇时所用的时间是,则 所以(秒),即第一次相遇的时间为4秒 设第一次相遇点为C,第一次相遇时P点已运动到终边在的位置 则, 所以C点的坐标为(),P点走过的弧长为,Q点走过的弧长为。
[例5](1)若,求值① ;② (2)求值。 解:(1)① 原式 ② ∵ ∴ 原式 (2)∵
又 ∵ ∴ 原式
[例6] 已知对于任意实数,均有,与成立,当时,有,求的值。 解:∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴
∴
[例7] 已知,,,,求与的值。 解:∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ 或 当时, ∴ ∴ 或,当时,有同样的结果 ∴ 或,或
[例8] 已知 (1)求的值; (2)求的值。 解:(1)由,,得
∴ (2)由(1)知 ∴
[例9] 已知关于的方程的两根为,求: (1)的值 (2)的值 (3)方程的两根及此时的值 解: (1)
(2)①式两边平方: ∴ 由②: ∴ (3)当时,原方程变为 ∴ ∴ 或 ∵ ∴ 或
[例10] 已知的面积S满足,且,与的夹角为 (1)求的取值范围;(2)求函数的最小值。 解:(1)① ② : 即 由 ∴ ∴ 又为与的夹角 ∴ ∴ (2)
∵ ∴ ∴ 即时,的最小值为3
【模拟试题】 一. 选择题: 1. 若角的终边与直线重合,且,又P(m,n)是角终边上一点,且,则等于( ) A. B. C. 2 D. 4 2. 若为第三象限的角,那么的值( ) A. 大于零 B. 小于零 C. 等于零 D. 不确定 3. 已知为第三象限角,则所在的象限是( ) A. 第一或第二象限 B. 第二或第三象限 C. 第一或第三象限 D. 第二或第四象限 4. 对任意的锐角,下列不等关系中正确的是( ) A. B. C. D. 5. 若实数满足,则的值等于( ) A. B. C. 11 D. 9 6. 已知函数(为非零实数),且满足,则的值为( ) A. 6 B. 3 C. 2 D. 不确定 7. 已知,那么的值为( ) A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 8. 若,则的值为( ) A. B. C. D.
二. 解析题: 1. 设,且不在同一象限,求的值。 2. 已知。 (1)求的值; (2)求的值。 3.(1)已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的中心角;(2)已知扇形周长为40,当它的半径和中心角取何值时,才使扇形面积最大? 4. 已知是方程的两个根中较小的根,求的值。 【试题答案】 一. 1. C 解析:由,知角的终边在第三或第四象限或轴的负半轴上,而直线在第一、三象限。 故角的终边在第三象限 ∴ 又 ∵ 在直线上 ∴ 同时,,可得 由,解得或(舍),故 2. B 解析:为第三象限的角,∴ ,而,,故其值小于零。 3. D 解析:特殊值法,取或,则或 4. D 解析:若,,则可淘汰A、B;若,则可淘汰C。 5. C 解析:∵ ∴ ∴ ∴ 6. C 解析:由已知条件得
∴
7. B 解析:∵ ∴ ∴ 解得或(舍去) 由,得 ∴ 8. B 解析:
二. 1. 解析:(1)当在第一象限,在第二象限时,(),(),则有, (2)当在第一象限,在第三象限时,, ,则有
(3)当在第二象限,在第三象限时,, ,则有
综上,得 2. 解析:(1),平方得 整理得 ∵ 又 ∵ ∴ 故 (2)
3. 解析:(1)设中心角是,半径是 则或4,故或 (2)设中心角是,半径是,则
当且仅当,即时, ∴ 当时,扇形面积最大。 4. 解析:∵ 是方程的较小根 ∴ 方程的较大根是 ∵ 即 ∴ 解得或, 当时,, 当时,,,不合题意 ∴ ,
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