角的概念与任意角的三角函数、同角三角函数关系式与诱导公式

角的概念与任意角的三角函数、同角三角函数关系式与诱导公式

 

二. 本周教学重、难点：

1. 理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算；掌握任意角的正弦、余弦、正切、余切的概念；了解余切、正割、余割的定义。

2. 掌握同角三角函数关系的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式。

 

【典型例题】

[例1] 角的顶点与坐标原点O重合，其始边与轴的正半轴重合。

（1）若角的终边上有一点P（）（）求；

（2）已知角的终边上一点P的坐标为（）（）且，求。

解：（1）   因为

所以当时，点P在第四象限

当时，点P在第二象限

（2）

由，所以

所以当时，，

当时，，

 

[例2] 已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R，（1）若，R=，求扇形的弧长交该弧所在的弓形面积。（2）若扇形的周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？

解：（1）设弧长为，弓形面积为，因为，R=10，所以

（2）因为扇形周长，所以，

所以

所以当且仅当，即（舍去）时，扇形面积有最大值

 

[例3] 设，，求

的值。

解：∵     ∴     ∵

∴

同理，

∴ 原式

 

[例4] 如图所示，动点P、Q从点（4，0）出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P、Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P、Q点各自走过的弧长。

解：设P、Q第一次相遇时所用的时间是，则

所以（秒），即第一次相遇的时间为4秒

设第一次相遇点为C，第一次相遇时P点已运动到终边在的位置

则，

所以C点的坐标为（），P点走过的弧长为，Q点走过的弧长为。

 

[例5]（1）若，求值① ；②

（2）求值。

解：（1）① 原式

② ∵

∴ 原式

（2）∵

又 ∵

∴ 原式

 

[例6] 已知对于任意实数，均有，与成立，当时，有，求的值。

解：∵     ∴

∴

∴

∴

∴

∴

 

[例7] 已知，，，，求与的值。

解：∵     ∴

∴

∴     ∴

∴     ∴     ∵    ∴

∵ 或   当时，

∴     ∴ 或，当时，有同样的结果

∴ 或，或

 

[例8] 已知

（1）求的值；

（2）求的值。

解：（1）由，，得

∴

（2）由（1）知

∴

 

[例9] 已知关于的方程的两根为，求：

（1）的值

（2）的值

（3）方程的两根及此时的值

解：

（1）

 

（2）①式两边平方：    ∴

由②：    ∴

（3）当时，原方程变为

∴

∴ 或    ∵    ∴ 或

 

[例10] 已知的面积S满足，且，与的夹角为

（1）求的取值范围；（2）求函数的最小值。

解：（1）①

 ②

：   即

由    ∴     ∴

又为与的夹角    ∴     ∴

（2）

∵     ∴

∴ 即时，的最小值为3

 

【模拟试题】

一. 选择题：

1. 若角的终边与直线重合，且，又P（m，n）是角终边上一点，且，则等于（    ）

    A.     B.     C. 2    D. 4

2. 若为第三象限的角，那么的值（    ）

    A. 大于零    B. 小于零    C. 等于零    D. 不确定

3. 已知为第三象限角，则所在的象限是（    ）

A. 第一或第二象限                          B. 第二或第三象限

C. 第一或第三象限                          D. 第二或第四象限

4. 对任意的锐角，下列不等关系中正确的是（    ）

A.

B.

C.

D.

5. 若实数满足，则的值等于（    ）

    A.     B.     C. 11    D. 9

6. 已知函数（为非零实数），且满足，则的值为（    ）

    A. 6    B. 3    C. 2    D. 不确定

7. 已知，那么的值为（    ）

    A. 6    B. 4    C. 2    D. 0

8. 若，则的值为（    ）

A.     B.     C.     D.

 

二. 解析题：

1. 设，且不在同一象限，求的值。

2. 已知。

（1）求的值；

（2）求的值。

3.（1）已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的中心角；（2）已知扇形周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才使扇形面积最大？

4. 已知是方程的两个根中较小的根，求的值。

【试题答案】

一.

1. C

解析：由，知角的终边在第三或第四象限或轴的负半轴上，而直线在第一、三象限。

故角的终边在第三象限     ∴

又 ∵ 在直线上    ∴

同时，，可得

由，解得或（舍），故

2. B

    解析：为第三象限的角，∴ ，而，，故其值小于零。

3. D

    解析：特殊值法，取或，则或

4. D

    解析：若，，则可淘汰A、B；若，则可淘汰C。

5. C

解析：∵    ∴     ∴

∴     

6. C

解析：由已知条件得

∴

7. B

解析：∵     ∴    

∴     解得或（舍去）

由，得   ∴

8. B

解析：

 

二.

1. 解析：（1）当在第一象限，在第二象限时，（），（），则有，

（2）当在第一象限，在第三象限时，，

，则有

（3）当在第二象限，在第三象限时，，

，则有

综上，得

2. 解析：（1），平方得

整理得    ∵

又 ∵     ∴

故

（2）

3. 解析：（1）设中心角是，半径是

则或4，故或

（2）设中心角是，半径是，则

当且仅当，即时，

∴ 当时，扇形面积最大。

4. 解析：∵ 是方程的较小根    ∴ 方程的较大根是

∵    即

∴    解得或，

当时，，

当时，，，不合题意

∴ ，