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-------《积的变化规律》教学案例 【背景】 新课程走到今天，老师们已经从当初的“心潮澎湃”回归到“理性思考” ，我们的课堂也从“浮华喧闹”回归到“务实高效” ，强调从生活经验出发，体现“生活味”的同时不忘“数学味” 。但是，有些老师曲解了新课程的理念，过分夸大“生活数学” ，以为所有的课都必须从生活经验出发，以为只有找到生活中的原型，唤起学生的经验，才能激发学生的兴趣，其实纯数学的规律探究也可以激发学生思维的动力，让学生在探究规律中感悟数学的魅力。以下我就以《积的变化规律》教学案例谈谈自己对纯数学规律探究课如何激发学生思维动力的一些认识。 【课前思考】 课程标准指出：“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。”分析这句话可以得出三种数学学习方式：“对客观世界定性把握和定量刻画”就是平时所说的概念课需要让学生从生活经验出发经历将实际问题抽象成数学模型的“数学化”的过程；“广泛应用”就是平时所说的应用课需要让学生经历数学应用于生活的“生活化”的过程；而“逐渐抽象概括、形成方法和理论”是从数学到数学——纯数学的一块知识。有人说，它是数学中的最后一块净土，无需太多的情境，而是以数学本身的内在规律性去打动学生，吸引学生，要让学生在观察、思考、抽象、概括的过程中逐渐形成规律。 思考一：如何设置简单的数学情境激发学生思维的动力？ 思考二：积的变化规律拓展的深度与广度该如何把握？具体地说，就是两个因数变化时积的变化规律拓展的程度及采用何种方式进行拓展？ 思考三：是孤立地看待知识，为学规律而学规律，还是站在数学思想方法的高度对教材进行二度开发，为学生的后续学习乃至持续发展奠定基础？ 【过程描述】 课前谈话：今天的数学课与以前相比什么变了，什么不变？今天我们就以变与不变的眼光来看待这节数学课。 一、纯计算引入。 师：既然是上数学课，就离不开计算，先请同学们来口算几题。 生口算：6×20 40×5 160×5 6×10 6×30 80×5 师：观察这组算式，你能分一分吗？ 生：三位数乘一位数的分一类，两位数乘一位数的分一类。 师：哦，是根据位数来分的，还有不同的分法吗？ 生：6乘几的分一类，几乘5的分一类。 师：那你来分分。 生报师板书： 6×20＝120 40×5＝200 6×10＝60 160×5＝800 6×30＝180 80×5＝400 师：需要调整一下吗？ 生调整后形成板书： 6×10＝60 40×5＝200 6×20＝120 80×5＝400 6×30＝180 160×5＝800 师：唉，刚才这位同学是怎么分的？谁听清了，再来说说。 生：6乘几的分一类，几乘5的分一类。 师指着板书：哦，就是说都有一个因数6或5不变，那另一个因数和积变了吗？ 生：变了。 师：那你能用刚才的“变与不变”说一句话吗？ 生：一个因数不变，另一个因数和积变了。 生：一个因数不变，另一个因数变了，积也变了。 师：原来乘法算式中也有“变与不变”的现象，那这两组算式都是这样吗？ 生：是的，只是不变的因数一个在前，一个在后。 （说明：简单的纯计算的引入，自然有效，可以让学生自然的进入数学学习状态，并将算式打乱呈现，让学生在分类整理中初步感悟两组算式的特征，还适时渗透有序化的思想。） 二、主动探究，获取规律。 （一）研究一个因数乘几积的变化规律。 师：那这两组算式的变化有规律吗？ 生：有。 师指着第一组算式：那你能根据规律继续往下变吗？写几道试试。 生动笔继续往下变并汇报：6×40＝240、6×50＝300、6×60＝360。 师：能变得完吗？ 生：变不完。 师补充板书：6×40＝240、6×50＝300、6×60＝360…… 师：编得这么快，那到底有怎样的规律呢？同桌同学互相说说。 生互说后汇报：一个因数不变，另一个因数多10，积都多60。 生：我还发现一个因数不变，另一个因数乘2，积也跟着乘2。 师：在哪里？你能指出来吗？ 生指着算式再说了一次。 师：老师觉得刚才这位同学发现的规律特别有意思，它的积会跟着因数变。同学们继续观察一下，这组算式里还有这样有意思的规律吗？ 生纷纷争着说有。 师请同学上来指着算式说：一个因数不变，另一个因数乘3，积也跟着乘3。 一个因数不变，另一个因数乘4，积也跟着乘4。 …… 师：你能用一句话说完它吗？ 生：一个因数不变，另一个因数乘几，积也跟着乘几。（师板书） （二）研究一个因数除以几积的变化规律。 师指着另一组算式：往下变同学们会变了，那往上变你们会吗？也写几道试试。 生写后汇报：20×5＝100、10×5＝50、5×5＝25。 师：还能编吗？ 生：能，2.5×5。 师：你真厉害，会用小数编，是的，其实往上变也是变不完的，只不过我们对小数的认识还不够。（板书补上：……） 师：这组算式又有怎样的规律呢？请同学们思考后在小组里交流。 生交流后汇报：我们小组发现一个因数不变，另一个因数除以几，积也跟着除以几。你看……（生指着算式举例说明。） 师板书规律。 （三）完善积的变化规律。 师：你能将两句话合并成一句话吗？ 生：一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积也跟着乘（或除以）几。 师揭题：这就是我们今天要学习的“积的变化规律”。 （四）验证规律。 师：你对我们刚才发现的规律确信无疑吗？一个规律的获得要经过多次的验证才能成其为规律。是不是别的乘法算式也有这样的规律，还要等着我们去验证。请同学们随便写出一道乘法算式进行变化，看看是不是都有这样的规律。（温馨提示：为了便于计算与观察，所写的算式数据尽量简单些。） 生验证后汇报： 生1：4×20＝80变为4×40＝160有这样的规律。 生2：40×3＝120变为10×3＝30也有这样的规律。 生3：我编的没有这样的规律。5×60＝300变为5×80＝400，一个因数多20，积却多100。 师：对啊，怎么回事，谁能解释？ 生：积的变化规律都是乘几或除以几的，而他的是加几，所以不行。 师：哦，看来积的变化规律只适用于乘或除，你明白了吗？ 生：明白了。 师：那这里的60乘几是80呢？ 生疑惑师轻声地说：60乘1还是60，60乘2是120，那大概乘几呢？ 生：大概乘比1大而比2小的数。 师：是的，他编得这题也有积的变化规律，只是比1大而比2小的数我们现在还没学到。那你们现在对积的变化规律还有怀疑吗？ 生：没有。 师：请同学们以确信、坚定的语气读出积的变化规律。 生齐读。 （说明：本节课的教学重点是让学生掌握积的变化规律，让学生经历规律的归纳过程，而规律的归纳需要量的积累，试想，如果只有一两道算式，怎么可以归纳出一个规律呢？因此我让学生根据算式的特征往上变、往下变，在变的过程中完成量的积累，当规律“呼之欲出”的时候再进行归纳交流，规律的获得也就水到渠成了。） 三、巩固练习，深化认知。 1．根据24×25＝600，直接写出下面各题的积。 48×25＝（ ） 24×75＝（ ） 24×5＝（ ） 12×25＝（ ） 48×75＝（ ） 12×5＝（ ） 前4题学生回答后，师用课件加箭头演示解题思路。 然后出示48×75＝（ ）。 师：这题与前4题相比哪里与众不同？ 生：两个因数都变了。 师：两个因数怎么变？ 生：一个因数乘2，另一个因数乘3。 课件出示：24 × 25 ＝ 600 ×2 ×3 ×？ 48 × 75 ＝（ ） 师：那你们猜积会乘几？ 生：4、5、6。 师：不可能有3个答案，到底乘几，有什么办法知道？ 生：算算看。 生计算后兴奋地发现是乘6。 师：那这个6是怎么来的？ 生：2×3。 师：那假如一个因数乘4，另一个因数乘5呢？乘5乘6呢？乘a乘b呢？ 师概括出（因数×A）×（因数×B）＝积×（A×B）。 同样概括出（因数÷A）×（因数÷B）＝积÷（A×B）。 【渗透两个因数都变积的变化规律，并抽象出：（因数×A）×（因数×B）＝积×（A×B）、（因数÷A）×（因数÷B）＝积÷（A×B）】 2．解释与应用 （1）商家促销，3本只用10元，那么6本这样的笔记本要几元？ 15本呢？ 生：20元。 师：怎么知道？ 生：6本是3本的2倍，那么所花的钱也是10元的2倍，所以是20元。 师：有没有觉得跟我们今天所学的积的变化规律挺像的。 课件出示：单价 × 数量 ＝ 总价 3本 10元 6本 ？元 （结合课件师：单价和数量相当于两个因数，总价相当于积，现在单价不变，数量乘2，总价也跟着乘2。） 【让学生感受到单价、数量、总价的变化与积的变化规律的联系。】 （2）下面这块长方形绿地的宽要增加到24米，长不变。扩大后的绿地面积是多少？
此题让学生说说长方形的面积计算与积的变化规律的联系。 【数形结合，让学生感受到长方形面积的变化与积的变化规律的联系。】 3．拓展思考：20×4＝80，现在要使积变为480，因数该怎么变？（说明：可以变一个因数，也可以变两个因数）两个因数都变积就一定会变吗？要使积不变还是80，两个因数都变该怎么变？（发现一个因数乘几，另一个因数除以相同的数，积不变。）那一个因数乘几，另一个因数除以不同的数，积又有怎样的变化规律呢？（延伸到课后） 【一题多用，既巩固一个因数变化时积的变化规律，又拓展到两个因数同时乘一个数时积的变化规律，还可以渗透一个因数乘一个数，另一个因数除以一个数时积的变化规律。】 三、回顾反思 （主要总结研究规律的一般方法） 生成新问题 研究算式
验证规律 发现规律 结合课件师：这节课我们先研究了两组算式，发现了积的变化规律，经过验证确信了积的变化规律，但却还没完，又生成了新的问题，如两个因数都变积会怎么变？还要等着同学们继续去研究，这样一直循环下去……课即将结束，但研究仍在继续。 （总结归纳本课的学习过程，让学生初步获得探索规律的一般方法和经验。） 四、课后延伸：如果一个因数乘以几，另一个因数除以几，积的变化又有怎样的规律？
【课后反思】 回顾这一堂课，我想我是在努力实践着以简单的纯数学情境，以量的积累形成强大的势，以层层深入的数学思考来激发学生思维的动力的。整节课学生思维活跃，参与积极性较高，有认知的冲突，也有智慧的碰撞。其中也折射出我对规律探究课如何激发学生思维动力的一些认识。 一、创设纯数学研究的问题情境，用数学自身的魅力感染学生。 情境的设计不能一味追求数学生活化，学校数学要有必要的抽象，数学发展的动力一方面来源于社会的实际需要，另一方面也来源于数学自身的发展。并非所有的数学内容都适合于从现实情境引入，否则必然会造成逻辑上的混乱和教学上的困难，所以我们也可以创设纯数学情境，纯数学情境更有利于学生思维的发展。课的开始，简单的纯计算的引入，自然有效，可以让学生自然的进入数学学习状态，并将算式打乱呈现，让学生在分类整理中初步感悟两组算式的特征，还适时渗透有序化的思想，以此导入新课。这样的情景创设简洁明快的把学生带入了学习数学的知识殿堂里。 二、完成量的积累，形成探究规律的冲动。 思维要有动力，而动力来自于强大的势，势要有足够的量，有了量，才会冲，冲了才会动，是为冲动，有了探究的冲动，才可得出规律。因此我让学生根据算式的特征往上变、往下变，在变的过程中学生自然会去思考其中隐藏的规律，又能完成量的积累，从而形成探究规律的冲动，当规律“呼之欲出”时再进行归纳交流得出“一个因数变化时积的变化规律”，并适时进行验证，让学生对积的变化规律确信无疑。 三、层层深入，促使学生思维活动持续发展。 思维是数学的核心。一个学生不会围绕数学问题去思考，就谈不上学数学。一堂数学课，如何引导学生层层深入，培养学生数学思维？从设计方面，老师设计的内容和形式的设计要围绕重点，循序渐进，层层深入；从“引学”方面，教师应在课堂提出的每一个问题，考查的每一道习题，组织的每一个教学环节，都应体现引导学生“思考”的别具匠心。本课最大的亮点是上出了数学课的“数学味”，从“一个因数变化时积的变化规律——两个因数都乘或除以一个数时积的变化规律——一个因数乘一个数，另一个因数除以一个数时积的变化规律”，学生的数学思维得到一次一次的磨炼。这样层层深入，一环扣一环，让人深陷其中，欲罢不能，让学生深深体会到了数学思维的乐趣。 【我的困惑】 曾经想以数形结合引入积的变化规律，让学生在直观的长方形面积变化与长或宽的变化中发现积的变化规律，但又缺少量的积累。因此我在思考：如何使数形结合与量的积累达到完美的融合？
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