椭圆的标准方程

折叠 编辑本段 标准方程

折叠  椭圆的标准方程分两种情况

当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；

当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；

其中a^2-c^2=b^2

折叠  标准方程的推导

椭圆的标准方程

椭圆的标准方程

椭圆的标准方程

如果在一个平面内一个动点到两个定点的距离的和等于定长，那么这个动点的轨迹叫做椭圆。

椭圆的图像如果在直角坐标系中表示，那么上述定义中两个定点被定义在了x轴。若将两个定点改在y轴，可以用相同方法求出另一个椭圆的标准方程：

在方程中，所设的称为长轴长，称为短轴长，而所设的定点称为焦点，那么称为焦距。在假设的过程中，假设了，如果不这样假设，会发现得不到椭圆。当时，这个动点的轨迹是一个线段；当时，根本得不到实际存在的轨迹，而这时，其轨迹称为虚椭圆。另外还要注意，在假设中，还有一处：。

通常认为圆是椭圆的一种特殊情况。

非标准的椭圆方程

其方程是二元二次方程，可以利用二元二次方程的性质进行计算，分析其特性。

折叠 编辑本段 椭圆焦点

当焦点在X轴上时焦点坐标F1（-c，0）、F2(c，0)

当焦点在Y轴上时焦点坐标F1（0，-c）、F2(0，c)

折叠 编辑本段 几何性质

X，Y的范围

当焦点在X轴时 -a≤x≤a，-b≤y≤b

当焦点在Y轴时 -b≤x≤b，-a≤y≤a

折叠 编辑本段 对称性

不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。既椭圆是中心对称图形。

折叠  顶点：

焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0）

短轴顶点：（0，b），（0，-b）

焦点在Y轴时：长轴顶点：（0,-a），（0,a）

短轴顶点：（b,0），（-b,0）

注意长短轴分别代表哪一条轴，在此容易引起混乱，还需数形结合逐步理解透彻。

折叠 编辑本段  椭圆的两个定义：

折叠  第一定义

把平面内与两定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆

|MF1|+|MF2|=2a（2a＞|F1F2|）

折叠  第二定义

平面内到定点F的距离与|PF|和它到定直线l的距离之比是常数e（0<e<1）的点的轨迹为椭圆

PF/d=e（0<e<1）其中定点F是焦点，定直线l为准线常数e为离心率

折叠 编辑本段  椭圆的专属名词

折叠  焦点三角形:

|MF1|+|MF2|=2a

|F1F2|=2c

折叠  焦点弦三角形:

周长为4a

折叠  弦长公式

折叠  通径:

|H1H2|=2b^2/a

折叠  椭圆上的点到焦点的距离:

最大值为a+c  最小值为a-c