蒋华良：科普的力量-----一些与数学有关的“八卦”

科普的力量

-----一些与数学有关的“八卦”

蒋华良

2016年3月21日-24日于上海

 

科普是科学普及的简称，亦称大众科学或者普及科学。我理解的科普至少可以分为两个层次，一是对非科技工作者普及科学知识，这也称之为大众科普，二是对专业科技人员的科普。一般的科普往往注重前者，而忽略对科技人员的科普。为什么专业化的科技人员还需要科普？当今科技日趋综合性和交叉性，掌握单一学科的知识与技能往往不能适应现代科学研究和技术研发的需求；另一方面，当今科技发展速度十分迅速，一个人要在短时期内掌握新近发展的科技知识和技能非常困难。如果及时有相关领域和新发展学科的科普作品发表或推送（通过微信等新媒体），将会极大地促进科技本身的发展以及社会和经济的发展，不但有利于提高普通百姓的科学素养，也有利于提高科技人员的科学素养。

科学普及的主要功能是，向大众介绍科学知识（也包括社会科学），推广科技应用成果，倡导科学方法，传播科学思想，弘扬科学精神。因此，科普的力量是无法估量的，可以这么说，没有一个成功的科学家或有建树的工程师没有受到好的科普的影响。本文通过一些与数学有关的具体例子来说明科普的力量。

1978年1月《人民文学》第一期刊登了徐迟写的报告文学《哥德巴赫猜想》。全国大凡有些文化、有文字阅读能力的人均竞相传阅这篇报告文学，主人公陈景润的名字也家喻户晓，大家为陈景润不畏艰难，十年磨一剑，攻克哥德巴赫猜想这一世界难题的精神所折服。徐迟不但是一位高水平诗人和文学家，也可以说是科普作家中的高手，他在《哥德巴赫猜想》中介绍了许多数论的基础知识。读过这篇报告文学的人一定会有两个深刻的印象：陈景润不食人间烟火的形象以及数学的魅力和美丽。因此，《哥德巴赫猜想》也是一篇优秀的科普作品。许多人，包括我自己，读了《哥德巴赫猜想》之后，深深地爱上了数学，认认真真地学起了数学。无法统计有多少人因受《哥德巴赫猜想》的影响而走上了专业从事数学研究的道路。国际著名数学家哥伦比亚大学的张寿武教授就是其中的一位。他是我同事沈旭教授的高中同学，因这层关系，我们邀请他为药物所的学生作过一次科普报告，张寿武的科普报告也很精彩，给了我一些经常用到数学知识的学生以极大的信心。张寿武生活在安徽和县农村，受哥哥影响，从小喜爱数学，一边为生产队放鸭一边自学数学，文革结束后，他虽未正规上过学，数学水平已经很高了。但高考数学考砸了，不喜欢的化学考了高分，被中山大学化学系录取。几近周折（谎称自己色盲），转到中大数学系。张寿武的自学能力很强，大学四年基本靠自学学习数学。“同调代数”这样对粉碎四人帮后年轻老师来说完全是新的学科，张寿武自己一边自学，一边给系里的年轻老师和进修老师上课。这样的高材生走上数学研究的道路完全是自觉的，《哥德巴赫猜想》没有起作用。《哥德巴赫猜想》对张寿武的作用是让他对数论产生了浓厚的兴趣，以至于他最终成为国际一流的数论专家，是国际上少数几个敢于挑战“ABC猜想”的数学家。

关于ABC猜想这里不作详细介绍，我也没有能力作深入介绍，这里插一段算是关于ABC猜想的小科普知识吧。这一猜想由Joseph Oesterlé及David Masser在1985年提出，因猜想中用了a+b=c这一最基本的公式，此猜想被称为ABC猜想。此外，ABC猜想包含了许多丢番图问题，例如费马大定理。如果这一猜想被证实，数论中一半悬而未决的难题便迎刃而解，费马大定理仅是ABC猜想的特例。ABC猜想表明素数因子之间可能存在着更深层的关联，如果ABC猜想被证明是正确的，可能将揭示加法、乘法与质数之间存在的人类现有数学理论从未触及过的神秘内涵。因此，ABC也表示这一猜想是最基本的数学问题之一，解决它将极大地促进21世纪数学的发展。日本数学家望月新一在数论界的影响力不亚于张寿武，甚至不亚于当今数论界的第一高手陶哲轩（注意，最近华人数学家在数论界出尽了风头，张益唐大器晚成，最近证明了“孪生素数猜想”）。望月新一也算是张寿武的同门师兄弟，他们都在普林斯顿跟著名数学家法尔廷斯学习过数学。法尔廷斯非常厉害，32岁即获得数学诺贝尔奖Fields奖，后这一记录被陶哲轩打破，陶哲轩得Fields奖时仅31岁。与陶哲轩一样，生于1969年的望月新一是神童和天才少年，16岁读大学，23岁获得博士学位，20出头便在“远阿贝尔几何”领域中作出过超卓贡献，曾被邀请到4年一届的国际数学家大会上演讲（这是数学界的最高荣誉之一）。然而，1998年参加柏林数学家大会后，他就从学术界消失，潜心证明ABC猜想。2012年8月，望月新一宣布证明了ABC猜想，4篇相关论文贴在他工作的京都大学数学系网页，共有512页。为证明ABC猜想，望月新一创造了新的数学，这种新数学几乎没有人能理解，而望月新一从不给任何人讲解。因而，目前无法判断望月新一的证明方法是否正确。如果这套数学是正确的，将大力推进数学甚至整个科学的发展。写到此，我突然想起了上个世纪20年代，科学奇人狄拉克为研究量子力学，在经典力学泊松括号的基础上，建立量子力学的力学量（用算符表示）之间的对易规则，提出了狄拉克函数，这些当时被数学家认为非常诡异的新数学大大促进了量子力学理论基础的建立，也促进了数学的发展。从亚里士多德时代一直到二十世纪初，像狄拉克和望月新一这样的人很多，为解决科学问题，不故步自封，创造新的学科和理论，例如康托发明了集合论，彻底改变了二十世纪数学的面貌。自1930年代以后，这样的人少了，或几乎没有了，基础科学也就至今没有发展，所有的学科发展还没有跳出相对论和量子力学的范围。前一阶段炒得沸沸扬扬的检测到引力波（被誉为最近最伟大的发现），也不过是验证了100年前爱因斯坦提出的广义相对论场方程的一个解而已。广义相对论场方程有很多解，目前的数学方法难以获得，也需要发展新的数学，今后发现一个解，提出与这些解相关的客观世界（宇宙）的问题，并被实验验证，就是一个诺贝尔奖。不多说了，在回到正题之前，再说一个关于望月新一的八卦。自从比特币出现的那一刻起，人们就没停止过对其发明者中本聪身份的好奇，他究竟是谁？2013年5月20日，计算机科学家特德·尼尔森爆料比特币创始人其实是京都大学的数学教授望月新一。如果这一八卦又是真的，望月新一已经是亿万富翁了。与陈景润相比，望月新一高明多了，做学问的同时不忘赚大钱。

上面提及如果ABC猜想证明了，费马大定理的证明就不难了。然而，费马大定理于1994年被一个叫安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）的英国数学家证明了。安德鲁当然没有先证明ABC猜想，再顺带证明费马大定理，他采用的策略是先证明与椭圆曲线相关的谷山─志村─韦伊猜想，再证明费马大定理。在介绍安德鲁证明费马大定理有关是“故事”前，先简要介绍这一定理。几乎所有具有初中文化的人都能看懂这条定理：xn+yn=zn，当n>2时没有整数解（n=2是即为我们熟知的勾股定理）。皮埃尔·德·费马（1601-1665年）主业做律师，而且是当时法国有名的大律师，晚上或其他业余时间研究数学，并取得很多专业数学家难以企及的成就。一天晚上，他在灯下阅读丢番图（Diophatus）写的《算术》（拉丁文译本），突然来了灵感，在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下了。”至今没有人能判断，费马是否证明了他自己提出的大定理。我八卦一下，他可能证明了n=3、4等特殊情况，以为有办法推广到一般情况。不然，费马可能掌握了类似望月新一为证明ABC猜想而发明的新数学。然而，300多年来，费马在《算术》书上写下的那句话“关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下了”印在了无数人的脑海里，引导很多人成为数学家，目的就是为了证明这一著名的定理。然而，要证明这一看似简单的定理，太难了！很多人一生毁在证明这条定理的过程中。当然，许多人在证明这条定理的过程中也丰富了数论的内容，促进了数论的发展。例如，1922年英国数学家莫德尔提出了与费马达定理有关系的莫德尔猜想，张寿武和望月新一老师法尔廷斯于1983年证明了这一猜想，并因此于1986年获得了Fields奖。

“关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下了”这句话，可能也印在了安德鲁的脑海里。1953年，安德鲁出生在英国剑桥。10岁那年，他在街上看到了一本科普书籍--E·T·贝尔写的《大问题》。这本科普小册子详细介绍了费马大定理的历史，这一定理吸引了很多数学家去证明他，也让很多大数学家望而生畏，连世界上有史以来最著名的数学家之一德国哥廷根大学教授希尔伯特连证明这一定理的想法不敢有（1900年，希尔伯特在巴黎第二届国际数学家大会上作大会邀请报告，提出了新世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，20世纪的大多数数学家围着这23个问题忙乎）。从此，证明费马大定理即成了安德鲁终生追求的目标。为此，他先在牛津学数学，再回家乡剑桥获得数学博士学位，后在哈佛从事博士后研究。1981年起任普林斯顿高等研究院研究员，1982年起升为普林斯顿大学教授。美国与现在的中国没有什么两样，论文发表是评价一个科研人员的主要指标。要证明费马大定理这一难题，首先得生存。安德鲁为此做了两件事情，先证明一些容易证明的难题（对安德鲁容易，对别人可能很难），发表论文，升到终生教授的位置，解决生存问题；一些猜想或题目已经被他证明并写成论文，但不急于发表。所有这些准备工作就绪后，他开始证明费马大定理，为免于干扰，对外绝对保密（仅他夫人知道）。过一段时间，向数学杂志投一篇以前准备好的论文，以应付各种评估，也表明他依然“活跃”在数学界。1993年，经过7年艰苦的孤军奋战，安德鲁证明了费马大定理，全世界为之欢呼！然而，天有不测风云，审稿人发现他的证明中有一个小瑕疵，如不解决，等于前功尽弃。开始，安德鲁认为这不是很大的问题，自己搞了几个月，没有解决问题。于是，他邀请剑桥大学的讲师理查德·泰勒到普林斯顿帮他一起解决问题。又好几个月过去了，理查德·泰勒也未能帮他解决问题，安德鲁几乎要绝望了，准备放弃自己的证明。倒是理查德·泰勒劝说安德鲁再坚持一个月，如依然不行就放弃。幸运之神终于降临到安德鲁头上，2014年9月19日，一个星期一的早晨，安德鲁发现了问题的答案，他回顾了这一时刻：“突然间，不可思议地，我有了一个难以置信的发现。这是我的事业中最重要的时刻，我不会再有这样的经历……它的美是如此地难以形容；它又是如此简单和优美。20多分钟的时间我呆望它不敢相信。然后白天我到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在——它还在那里。”至此，安德鲁完全地、万无一失地证明了费马大定理，为这一困扰数学界300多年的难题画了一个完美的句号。1998年安德鲁因证明费马大定理而获得Fields奖。

贝尔在写《大问题》时绝对没有想到，他这本科普著作的最大成就是让安德鲁看到了这本著作，引导安德鲁走向数学，促使安德鲁以证明费马大定理为终生奋斗目标。据说，张寿武听到这一消息后，有点失望，他想通过证明ABC猜想，再顺理成章地获得费马大定理的证明权。不过还好，ABC猜想证明后，可获得一半数论猜想或命题的证明权，费马大定理仅是其中的一个而已，张寿武还有很多机会。望月新一不让任何人看懂他的新数学，看懂他对ABC猜想的证明，是否在给张寿武一个机会？看张寿武用现成的数学能否证明这一猜想？还是，望月新一很自信，现有的数学是无法证明ABC猜想的，等很多年后，张寿武或其他所有的数学家都放弃时，他才让世人真正理解他的数学和证明？这些也全是我的猜想。

最后一个故事，我准备再回到中国数学家身上来，这也是一部科普著作，引导一个年轻人证明世界数学难题的故事，可能很多做数学研究的现时年轻人都不知道关于这个当年年轻人的故事。这一故事发生在改革开放前，凡是发生在那时的故事，多半是悲壮凄凉的，这一故事的主人公也是如此，他叫陆家羲。1935年陆家羲出生于上海，家里靠父亲手工做的酱油、味精等调味品度日，生活很苦。陆家羲读初二时，父亲病重无钱医治而亡，他被迫辍学。1950年，年仅15岁的陆家羲到上海一个五金材料行当学徒，以维持家里生活。1951年，他告别家人来到沈阳，考入东北电器工业管理局办的统计训练班，半年后以第一名的成绩结业，分配到哈尔滨电机厂工作。他工作勤奋，被评为市劳模。

1957年夏天，陆家羲买了孙泽瀛写的《数学方法趣引》，书中介绍了十多个世界著名数学难题，这些难题深深地吸引了陆家羲，其中最吸引他的是一道组合数学难题---“寇克满女生问题”。 1850年，英格兰教会的一个区教长寇克满（T．P．Kirkman）在《女士与先生之日记》年刊上提出了这样一个有趣的问题：一女教师每天下午都要带领她的15名女生去散步，她把学生分成5组，每组3人，问怎样安排，才能使在一周内，每两名学生恰有一天在同一组，寇克满本人第二年在同一刊物上给出了一种解答。但是，如果把这一问题一般化，15名女生变成N个女生，就变成了难题，至陆家羲看到这个题目时，还没人得到正确的证明。22岁的陆家羲开始萌生了证明这一难题的想法。然而，他深知自己的知识结构不足证明这一题目，于是他决定考大学，但厂里不批，他不顾生活没有来源，辞职考取了东北师范大学。命运又给他开了个玩笑，他被物理系录取。他一边在物理系学物理，一边自学数学，并证明寇克满女生问题，到临近大学毕业时，他基本证明了这一世界难题。1961年，被分配到内蒙古草原钢城包头钢铁学院任教，后钢铁学院解散，他又先后在包头市教育局教研室、包头八中、五中、二十四中任教。每到一所学校，他总是认真教书，是学校的教学尖子，其他老师有数学和物理的难题总是问他，他还自己搭建仪器，建立物理实验室，指导学生做实验。晚上，夜深人静时，他沉迷在数学的世界里。他将寇克满女生问题的证明整理成文，寄往中科院数学所，询问有关专家的意见。1963年2月，他接到数学研究所的复信，希望他自己去核实论文，如果结果是新的，可以直接投稿给《数学学报》等刊物。他利用春节假期改写论文，于3月12日投寄给《数学通报》。一年后，得到的答复竟然是：“由于篇幅较长和所用的数学工具，建议另投其他刊物。”他又重新改写了论文，于1965年3月14日投寄给《数学学报》。这篇论文于1966年2月又被退稿，之后文革开始，中国科学家想单独发表论文是不可能了。1972年，经好友牵线，他与狼山医院大夫张淑琴喜结良缘。张淑琴虽然不懂数学，但理解并支持丈夫做数学研究。

文革结束后，我国迎来了科学的春天，陆家羲可以公开大胆地研究数学了。1979年，他借到了1974和1975年国际《组合论杂志》，从一些论文中得知寇克满问题以及推广到四元组系列等问题，已于1971和1972年被国外数学家解决了。这对他的打击太大了，他给正在包头市视察工作的科学院院长方毅写了一封信，信中写道：“……（他们）完成证明的时间比我要晚7至10年，而我的稿子至今还无着落，（他们的）原文未见到，还不能说明方法上优劣异同，但无论如何，国外在发表时间上是领先了！……这也说明我过去的工作是有意义的。这一段历史有18年，我的第一个孩子，精神上的孩子，她有18岁了。可是她的命运真不好，18年，在人的一生中不算短，对现代科学来说，更是一个漫长的时期，难道这里不寓有什么教训吗？我热爱科学，无论什么舆论环境下，什么工作条件下，也未曾动摇过，现在担心的是，要是有新研究结果又将怎样呢！”

陆家羲没有气馁，继续努力，挑战组合数学更难的问题---坦纳三元系的大集定理，这一定理是1853年瑞士数学家斯坦纳（Steiner）在研究四次曲线的二重切线时提出，问题提出至上世纪1980年代的130多年里，很多数学家企图解决这一问题，均已失败告终， 1981年5月号的国际《组合论杂志》上载文称：“这个问题离完全解决还很遥远。”然而，这一问题很快被陆家羲解决。1981年9月18日起，《组合论杂志》收到陆家羲题为“论不相交斯坦纳三元系大集”的系列论文。西方组合论专家们震惊了，加拿大著名数学家、多伦多大学教授门德尔逊说：“这是二十多年来组合设计中的重大成就之一。”加拿大多伦多大学校长斯特兰格威（D．W．Strangway）还专门致信包头九中校长（当时陆家羲又调到九中工作）：“亲爱的先生：包头九中的陆家羲是闻名西方的从事组合理论的数学家，您有必要同意把他调到大学岗位，这样的调动对发展中国的数学具有重要的作用，希望我所表达的意愿能获许可。”但是，这期间没有一个研究所和大学重视陆家羲的人和成果（尽管据说方毅还过问了此事），期间他先后向《数学学报》投寄的三篇论文，这些论文的发表要比在国际《组合数学》上发表论文困难得多，其中一篇文章1979年投稿， 1984年才在《数学学报》上刊出，这时他已去世9个多月了。

1983年10月，陆家羲作为唯一被特邀的中学教师参加了在武汉举行的第四届中国数学会年会。大会充分肯定了他的成就，表彰了他勇攀科学高峰的奋斗精神，他在会上做了报告。这是他生平第一次参加学术研讨会，第一次见到华罗庚等这样他心目中的大数学家。但是，陆家羲对工作特别认真，武汉会议后，为了不耽误上课，他连夜坐火车于赶回包头。一进家门就兴奋地对妻子说：“这次可见大世面啦。”晚饭后和家人聊了一阵便说：“太累了，太累了，明天再讲，早点休息吧。”也许是积劳成疾，也许是过于兴奋，也许兼而有之，1983年11月1日凌晨1时许，刚过48岁的陆家羲因心脏病突发与世长辞，临终前未留下一句遗言。

陆家羲的成就和不幸去世震动了社会。数学界著名人士吴文俊、程民德、段学复都高度重视此事。吴文俊先生在了解到陆家羲的生世和成就后，在一封信中写道：“（我）对陆的生平遭遇、学术成就与品质为人都深有感触。虽然最近社会上对陆的巨大贡献已终于认识并给予确认，但损失已无法弥补。值得深思的是：这件事要通过外国学者提出才引起了重视（他们是真正的国际友人），否则陆可能还是依然贫病交迫，埋没以终。怎样避免陆这类事件的再一次出现，是应该深长考虑。”陆家羲的成果被评为 “1987年度国家自然科学一等奖”；1989年，他的夫人张淑琴含着热泪代表他在北京人民大会堂参加了颁奖大会，并上台领奖（关于陆家羲的报道我看了好几遍，每看到此，就会控制不住地流泪）。

与贝尔一样，孙泽瀛做梦也没有想到，他写的一本小册子，竟然改变了陆家羲的一生，引导他成为数学家，解决了两大类组合数学难题。正如著名数学家吴文俊所言，陆家羲的幸运是遇到了国外学者，不然可能还是依然贫病交迫，埋没以终。但与陈景润比，陆家羲是不幸的。陈景润大学毕业时也分到中学教授，并且不会教书（陆家羲教书教得一级棒）。可是他遇到了好老师—厦门大学校长王亚南，把他调到母校做助教；后又得到华罗庚的赏识，调到科学院数学所工作；改革开放后，因徐迟的一篇报告文学，陈景润成了家喻户晓的人物，成了中央树立的典型，生活得到了极大的改善，获得了年轻护士的芳心，并与他结婚生子，科学院分配房子给他，被评为学部委员（中科院院士前身）….据说，陆家羲解决的数学问题比哥德巴赫猜想重要得多，对数字通讯理论、快速变换、有限几何等领域有重要的作用。除了参加1983年全国数学大会（那时陈景润已经是学部委员），陆家羲什么荣誉也没有得到，在中学勤勤恳恳教物理，并且教得很好。因劳累和贫困，陆家羲英年早逝，留下无穷遗憾。陆家羲的命运注定是悲壮的，他死于荣誉就要来到之前（不然，凭他的成就调往研究所或高校工作、评上科学院院士是迟早的事情….），30多年过去了，他的成就和事迹消失在茫茫人海和历史的潮流之中，以至于现在学数学做数学研究的人都不知道他曾经是我国比陈景润厉害的数学家，组合数学的成就，迄今没人超过他。

我这篇文章是受陆家羲经历启发而写的，看了他的生平与经历后，我得到一个启发---科普的力量真是伟大，一个好的科普可以改变一个人的人生，甚至可以改变社会的发展。后来，我回顾了我所知道的有名科学家成长经历，都或多或少受到科普教育的影响。本文挑选了我比较熟悉的几位数学家的故事，以此说明科普的力量，也向陆家羲那样的贡献巨大却又默默无闻的中国科学家表示崇高的敬意。

图文：蒋华良，中国科学院上海药物研究所所长，研究员。