精彩源于改变
——从两个案例出发谈对教材习题的处理
中国人民大学附属小学
牛献礼
数学教材为我们提供了许多具有丰富内涵的练习题，如果仅是“拿来主义”，“就题论题”，尽管也能取得较高的“双基”达成率，但在许多情况下，过于直白的问题，相对简约的过程，往往使学生获得的除了知识经验的简单叠加外，数学思想、创新意识与实践能力等深层目标很难企及。教学中，更应该结合学生的实际，在吃透教材本意的基础上对习题进行合理的教学法加工，更加充分地发挥习题的作用，使之更高效地为学生的发展服务。
案例一：北师大版四年级《探索与发现——“有趣的算式”》
《探索与发现——有趣的算式》是在学生学会了计算器的使用方法之后，让学生利用计算器进行数学探索的一个内容。教材出示了下面的一组算式，并给出了前三题的答案。编排意图是让学生先观察前三个算式的答案有什么特点，它们与算式的两个因数之间有什么关系，进而找出规律，然后利用规律直接填出后两个算式的答案。
1 × 1 =
1
11 × 11
=121
111 × 111
=12321
1111 × 1111 =
11111 × 11111 =
教师没有按部就班地“教教材”，而对题目的呈现顺序作了如下调整：
师：这里有个题目，数更大了，是8个1乘8个1，你们愿意接受挑战吗？（出示：11111111
× 11111111 =
）
学生迫不及待地拿出计算器计算。
生1：结果是12345678。
生2：不对呀，我的计算器显示的结果是1234567876。
生3：我的计算器显示的结果和他们的都不同，是123456787654。
这时，大部分学生显出疑惑的神情，不禁交头接耳起来：计算器显示的结果怎么会不一样呢？
生4：（迫不及待）我知道了，我们的计算器显示的位数不同，所以就出现了不同的答案。
生5：看来计算器也有不灵的时候呀！
生：（情不自禁）那我们用什么办法找出结果来呢？
师：（适时点拨）我们可以从简单的数计算起，看看能否发现什么规律？
这时再按教材上编排的顺序完整呈现题目。
……
如果按照教材的编排意图进行教学，即先让学生观察、发现前三题的算式和答案，找出规律，再根据规律填出后两题的答案，学生应该不成问题。但如此教学，计算器的作用更多地是去验证后两题的答案是否与猜想一致，目标比较单一。而且，学生由于对自己刚才发现的规律深信不疑，往往缺乏再用计算器验证答案的热情。而在上述教学中，先出示11111111
× 11111111 = ，学生通过计算器计算后，在汇报交流中形成矛盾冲突，并随之产生疑问：计算器不同，屏幕上显示的位数不同，答案究竟是多少呢？用什么办法能找出结果来呢？看似不经意的顺序“微调”，唤起了学生更强烈的内在学习需要。这时，教师适时地对解决问题的方法加以引导：可以从简单的数计算起，看看是否能发现什么规律？这样，学生不仅感受了从简单的情况开始探索数学规律这一解决问题的方法，而且也深刻地体验到计算器不是万能的，有时使用计算器并不能得到准确的结果。当学生经历了探索规律的过程后，他们会更自信：人的智慧是无穷的，我们不能被计算器束缚。
[案例二]北师大版六年级《圆环面积的计算》
“圆环的面积”在教材中仅仅是作为求组合图形面积中的一道题目的形式出现，如何进一步挖掘题目的思维价值，为学生提供更大的探索创新的空间呢？我在教学中作了如下尝试：
（课前安排学生预习，并让学生用硬纸板做一个环形。）
师：请同学们拿出做好的环形，说说你是怎样去做的。
生1：在硬纸板上，我先用圆规画了一个大圆，然后缩短圆规两脚间的距离，圆心不变，再画一个小圆，最后把小圆剪掉就得到环形。
生2：在硬纸板上，我先用圆规画一个圆，然后圆心不变，再画一个更大的圆，最后把小圆剪掉就得到环形。
师：前面两位同学都说到了哪几点？
生：都说到了要画两个圆形，而且圆心不变，半径大小不同，然后从大圆里剪去小圆，就得到环形。
师：说说日常生活中有哪些物体的表面是环形的。（学生纷纷说出光盘、环形垫片等）
师：判别下列哪些图形中，哪些是环形？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（学生思维很活跃，不仅能判别出（1）、（2）、（3）是环形，而且还能说出理由。）
生1：我发现，圆环的宽度是一样的。
师：这是一个很重要的发现。你能比较出这几个环形面积的大小吗？
生1：第一个环形的面积比第二个环形大，因为它们的外圆是一样大的，所以内圆小一点的那个环形的面积就大一些。
生2：第二个环形的面积比第三个环形大，因为它们的内圆是一样大的，所以外圆大的那个环形面积大一些。
生3：第一个环形的面积比第三个环形大，因为第一个环形内圆小一些，并且外圆大一些。
师：环形的面积与什么有关？
生1：与环形的宽度有关。
生2：与外圆、内圆的面积有关。
生3：因为圆的面积与半径有关，所以环形的面积应与外圆、内圆的半径有关。
师：（4）、（5）不是环形，你能求出它们阴影部分的面积吗？
生1：（4）、（5）中阴影部分的面积，都是用大圆面积减去小圆面积。
生2：不管是不是环形，只要是从大圆里剪去小圆，要求剩下部分的面积，都是用大圆面积减去小圆面积。
上面的教学中，学生学得积极主动，思维活跃，不断闪现出智慧的火花，而且思维的深刻性也可见一斑。反思上述教学活动，成功的关键在于变式和反例的合理运用。
概念的获得依赖于适当的经验，对学龄期的儿童来说，经验显得更为重要。我事先让学生用硬纸板做环形，目的正在于丰富学生的经验。怎样加深同学们对环形的认识呢？我给学生提供充分的变式，并加入了反例。“变”，不是目的，变是为了更好地突出事物的本质特征，使概念从模糊走向精确，正所谓“万变凸显其宗”。学生在对正反例证的思辨、鉴别中，加深了对环形的理解。在判断哪些图形是环形之后，我有意让学生比较这几个环形面积的大小，引导学生通过观察、比较、思考，认识到决定环形面积大小的最根本因素是内、外圆的半径。在这一活动中，学生收获的不仅仅是知识层面的，更重要的是心智的启迪与唤醒。
高效率、高质量的课堂教学，其价值绝非仅仅是传统意义上“双基” 的达成度上，而应体现在是否将“双基”教学寓于一个丰盈的过程之中，学生是否有体验、探索与交流等过程和经历，是否有探索者才能体会到的酸、甜、苦、辣……这有赖于教师真正树立起“教师不仅是教材的使用者，更应成为教材的重组者、开发者”的理念，创造性地灵活处理教材，并在教学中加以智慧地落实。
