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光子问答精选[22]三角换元（一）

2016年11月03日 锋行天下 数海拾贝

三角换元是一种用三角函数中的角度θ代替问题中的字母参数，然后利用三角函数之间的关系而达到解题目的的一种换元方法，此方法应用非常广泛，本文主要介绍利用三角恒等式sin2θ+cos2θ=1及其变形形式，来处理多元代数式的最值或取值范围问题．

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例1　已知实数x,y满足x2?4y2=4，则|x|?|y|的最小值是______．
——提问者：耿耿 2016-10-24 23:31

分析　题中代数式x2?4y2=4是平方差为常数的形式，可以考虑利用三角代换处理．

解　（解答者：耿耿）题中代数式可变形为(x2)2?y2=1，令|x2|=1cosθ,|y|=tanθ,其中θ∈[0,π2)，则 |x|?|y|=2cosθ?tanθ=2?sinθcosθ,

表示点(0,2)与单位圆x2+y2=1,x∈(0,1]上的点连线的斜率的相反数，如下图：
因此，可计算得斜率的范围为(?∞,?√3]，故题中所求代数式的最小值为√3．

例2　设 x,y为实数，若x2?xy+y2=1，求x+2y的取值范围．
——提问者：meiyun 2016-08-24 10:37

分析　联想到sin2θ+cos2θ=1，考虑将题中x2?xy+y2=1变形，然后用三角换元进行求解．

解　（解答者：燕子）题中等式可化为(x?y2)2+(√32y)2=1,进行三角换元，令{x?y2=cosθ,√32y=sinθ,其中θ∈[0,2π)，解得{x=1√3sinθ+cosθ,y=2√3sinθ,所以x+2y=5√3sinθ+cosθ=√253+1sin(θ+φ),其中sinφ=√2114,cosφ=5√714．
因此，x+2y的取值范围为[?2√213,2√213]．

总结
(1)常用于三角换元的三角恒等式有sin2θ+cos2θ=1,1cos2θ?tan2θ=1,1sin2θ?1tan2θ=1.(2) 利用三角恒等式，可将多元代数式的变元用θ代替，进而使变元减少，然后再结合辅助角公式等方式求最值或范围即可．
(3)三角换元是换元法的一种，换元后一定注意新变元的范围，也就是需要根据题意给出θ的合理范围；

练习
1．设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是______．
——提问者：大雨瓢泼 2016-08-21 10:20

2．已知非零实数x,y恒满足 3x2+4xy?λ(x2+y2)，则实数λ的最小值为______．
——提问者：连殳轻癫 2016-08-21 15:05

3．已知实数x,y满足x2+y2?xy=2，则x2+y2+xy的取值范围为______．
——提问者：意琦行 2016-07-07 10:08

答案
1．√85；
2．4；
3．[23,6]．

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