数海拾贝

光子问答精选[19]解函数不等式（二）

2016年10月22日 燕子 数海拾贝

解函数不等式（一）中我们介绍了如何结合函数的奇偶性与单调性来解函数不等式，因此，在解函数不等式时，我们希望：

（1）先将所给函数不等式化为f(a)>f(b)的形式；
（2）再利用函数的单调性将不等式两边的函数符号“f”完全脱掉．

那么问题来了，如果所给函数不等式中有常数出现，该如何将其转化为f(a)>f(b)的形式？如果函数为一般轴对称函数，该如何去掉“f”？这就是我们今天要解决的两个问题．

问题一：函数不等式中有常数该如何处理
这类问题的解决方法是想办法将常数m化为f(x0)，其目的是最后能够去掉全部的“f”．可考虑通过题中条件所给的特殊点的函数值或者函数解析式本身的特点来进行转化．

例1　(1)已知y=f(x)是(0,+∞)上的增函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，解不等式f(x)+f(x?2)3．
——提问者：风行者 2016-10-10 12:01

(2)已知f(x)={x2,x?0;?x2,x0.若f(3a?2)>4f(a)，则a的取值范围是______．
——提问者：封神 2016-10-10 12:48

解　(1)（解答者：燕子）
由f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1得3=f(2)+f(2)+f(2)=f(4)+f(2)=f(8),所以不等式f(x)+f(x?2)3可转化为f(x)+f(x?2)f(8),即 f(x(x?2))f(8).因为f(x)是(0,+∞)上的增函数，所以{x>0,x?2>0,x(x?2)8.解得2x4，因此原不等式的解集为{x|2x4}．

(2)（解答者：df0817）
由f(x)的解析式知 f(x)=x|x|,因为4f(x)=4x|x|=(2x)?|2x|=f(2x),所以4f(a)=f(2a),因此原不等式可转化为 f(3a?2)>f(2a),又因为f(x)在R上单调递增，所以3a?2>2a,解得a>2，所以a的取值范围为(2,+∞)．

注　第(1)题中，因为函数f(x)的定义域为(0,+∞)，所以在把f(x)+f(x?2)转化为f(x(x?2))的时候，必需保证表达式的每一部分都要有意义，因此在根据单调性脱去“f”时，不能漏掉x>0，x?2>0这一隐含的限制条件，否则就会出错．第（2）题中，根据函数解析式的特点，得到f(2x)=4f(x)，巧妙的化解了常数4带来的困扰，进而将不等式转化为函数值之间的大小关系．

问题二：函数为一般轴对称函数该如何去掉函数符号“f”
这类问题的解决方法是先结合函数的对称性与单调性画出函数的大致图象，然后结合图象比较自变量与对称轴距离的远近，从而脱掉“f”，得到具体的不等式再进行求解．

例2　二次函数f(x)的二次项系数为正数，且对任意的x∈R 都有f(x)=f(4?x)成立，若f(1?2x2)f(1+2x?x2)，则实数x 的取值范围是()
A．(2,+∞)
B．(?∞,?2)∪(0,2)
C．(?2,0)
D．(?∞,?2)∪(0,+∞)
——提问者：格罗姆地狱咆哮 2016-09-11 12:53

解　（解答者：老夫子）
因为f(x)=f(4?x)，所以二次函数f(x)的图象关于直线x=2对称．
又因为二次项系数为正数，故f(x)的大致图象如下：由图象可知，自变量离对称轴x=2越近，其对应的函数值越小．
因此，若f(1?2x2)f(1+2x?x2)，则|1?2x2?2||1+2x?x2?2|, 即 |2x2+1||x2?2x+1|,去绝对值，得2x2+1x2?2x+1,解得?2x0，故答案C正确．

注　利用函数的对称性，巧妙的将函数值之间的大小关系转化为比较自变量与对称轴距离的远近问题，从而避免了繁琐的分类讨论，使得问题顺利解决．

练习
1．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且在(0,+∞)内是单增的，又f(3)=0，则不等式f(x)?f(?x)x0的解集为______．
——提问者：阿鹏 2016-08-26 21:43

2．已知函数f(x)=ex?1ex+1+x+1，若 f(a)+f(a+1)>2，求实数a的取值范围．
——提问者：李元芳 2016-07-20 16:24

3．定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(2?x)，且在[1,+∞)上单调递增，解不等式f(2x?1)f(x+2)．
——提问者：风行者 2016-10-10 12:36

答案
1．(?3,0)∪(0,3)；
2．(?12,+∞)；
3．{x|13x3}．

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