数海拾贝

每周一招[6]必要条件探路（新高三）

2016年08月16日 meiyun 数海拾贝

数学中的问题通常探究的是充分必要条件，比如求参数范围的问题．但对于有些复杂的问题来说，先通过必要条件探探路，有时会给解题带来便利，比如可以缩小讨论的范围或者需要考虑的情形．

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例题一　若关于x的不等式x2?mx+m+2>0对x∈[?2,4]恒成立，则m的取值范围是_______．分析与解　因为不等式对于x∈[?2,4]恒成立，所以当x=?2与x=4时不等式一定成立，即m满足下面的不等式组{4+2m+m+2>0,16?4m+m+2>0,解得m∈(?2,6)，这是一个必要条件，即m一定在此范围内．于是得到二次函数f(x)=x2?mx+m+2的对称轴x=m2∈(?1,3)?[?2,4]内．即二次函数f(x)在[?2,4]内必取到最小值，要保证不等式成立，必须有判别式Δ=m2?4(m+2)0,解得m∈(2?2√3,2+2√3)．

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例题二　（2015年北京西城高三期末理科）设D为不等式组{x+y?1,2x?y??1,x?2y?1,表示的平面区域，点B(a,b)为坐标平面xOy内的一点，若对于区域D内的任一点A(x,y)，都有→OA?→OB?1成立，则a+b的最大值是________．

分析与解　一方面，取平面区域D内的一点A(12,12)，由题意可得12a+12b?1,于是a+b?2.另一方面，取点B(1,1)，则此时→OA?→OB=x+y,根据D的不等式组表达，有x+y?1，于是a+b可以取到2．

综上所述，a+b的最大值为2．

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每日一题中涉及到必要条件探路的题常常会引起一些读者的质疑，可能是因为这与我们通常的解题思维区别较大．由必要条件得出的范围是必须满足的范围，所以讨论只需要限定在这个范围内进行就可以．而如果我们同时又证明了这个范围内所有数都可以取到，那么这个过程在逻辑上就是严密的．

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最后给出两道练习：

练习一　设函数f(x)=x2?ax+a+3，g(x)=ax?2a，若存在x0∈R，使得f(x0)0与g(x0)0同时成立，则实数a的取值范围为____．

答案    (7,+∞)

提示    本题中要使得f(x0)0成为可能，必须有Δ=(?a)2?4(a+3)>0，从而有a>6 ∨ a?2.结合图象知，无论a>6还是a?2，都只需要f(2)0，从而得到结果．

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练习二　若a?0，b?0，且当{x?0y?0x+y?1时，恒有ax+by?1，则P(a,b)所形成的平面区域的面积等于_____．

答案　1

提示　因为(1,0)与(0,1)都在区域内，所以0?a?1，0?b?1为必要条件．又当0?a?1且0?b?1时，恒有ax+by?x+y?1，所以这就是(a,b)的约束条件．

更多相关问题见每日一题[468]必要条件探路．

关于数海拾贝

“数海拾贝”由中国最顶尖的高中数学教研老师兰琦和金叶梅主编。第一个栏目《每日一题》，每天精选一道高中数学好题，从破题的思路，图文并茂的讲解到精辟到位的总结，同学们每天只要花上10分钟认真阅读和思考，一定能在两三个月获得明显的进步，在高考中取得好成绩。

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