数据的表示

 
1．扇形统计图
(1)扇形统计图的概念
用圆和扇形来表示总体和部分的关系，即用圆表示总体，各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形面积的大小表示各部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫扇形统计图．
扇形统计图，它是用整个圆的面积表示总数，用圆内的扇形面积表示各部分占总数的百分比的统计图．
特点：能直观地反映每组数据占总数的百分比，及各部分之间的关系．
画法：(1)计算出各部分数量占总体数量的百分比；
(2)利用百分比计算出各部分所对应的扇形圆心角的度数；
(3)绘制扇形图；
(4)标明各部分的名称和相应的百分比．
应用：①透过扇形图能读出各组数据所占的百分比，在已知总数的情况下能求出各组数据的个数．
②在扇形统计图中，每部分扇 形占总体的百分比乘以360°等于该部分所对应的扇形圆心角的度数．
【例1】 如图是某中学七年级(3)班全体同学年龄的统计表：
年龄/岁 13 14 15 16 合计
人数/名 4 15 25 6 50
根据表中提供的信息，绘制扇形统计图表示该班学生的年龄分布情况．
分析：根据表中提供的信息，首先计算出不同年龄的人数占全班总人数的百分比．然后计算出不同年龄的人数在圆中所占的扇形圆心角的度数．最后画出扇形统计图．
解：分别计算出不同年龄的人数占全班人数的百分比及相应的扇形圆心角的度数：
13岁：450×100%＝8%,360°×8%＝28.8°；
14岁：1550×100%＝30%,360°×30%＝108°；
15岁：2550×100%＝50%,360°×50%＝180°；
16岁：650×100%＝12%,360°×12%＝43.2°.
根据这些数据画出如图所示的扇形统计图．
 
2.条形统计图
条形统计图是用一定单位 长度的长方形表示一定的数量，并根据数量的多少画成长短不同 的条形图，然后，把这些图形按照一定的顺序排列起来的反映数据之间关系的图形．
条形的宽度相同，长度不同，通过条形高的长短来体现各组数据个数及各组数据 间的差别．
特点：①它能直观地反映 每组中数据的个数；②能直观地反映出数据之间的差别．
缺点：不容易看出各组数据占总数的比例．
应用：通过条形统计图能读出各组数据的个数，进而能求出总数据个数及各组数据间的差，以及各组数据所占的百分比等．
【例2】 对某校八(2)班学生参加课外活动情况的一次调查得到下表：
参加的体育项目 乒乓球 篮球 羽毛球 足球
人数 15 10 5 20
(1)该班有多少名学生？
(2)根据上述统计表，请用条形图来表示各个数据的分布情况．
分析：画条形图时，要注意单位长度的选择．
解：(1)15＋10＋5＋20＝50(名)．
(2)根据所提供的统计表，画出条形图如图所示．
 
3．频数直方图
频数直方图也是描述数据的一种重要方法．通过频数直方图能直观地了解各组数据中的频数分布情况．
画频数直方图的一般步骤：
(1)计算最大值与最小值的差，找出数据的变化范围
通过观察，首先找出数据中的最大值和最小值，并计算出最大值与最小值的差(极差)，找出数据的变化范围．
(2)决定组距与组数
把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离(组内数据的取值范围)称为组距．
根据最大值与最小值的差，来决定组距与组数．组距和组数的确定没有固定的标准，一般来说，数据越多分的组数也 越多，当数据不超过50个时，可以分成5～7组；当数据在50～100之间时，一般分成8～12组．
组数可以根据最大值－最小值组距来计算．
(3)决定分点
有些数据本身就是分点，不好决定它们究竟应该属于哪一组，为了避免出现这种情况，可以使分点比已知数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微的减小一点．
(4)列频数分布表
频数分布表一般由三部分组成，一是数据分组，二是划记，三是频数．
对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数(叫做频数)，整理可得频数分布表．
(5)画频数直方图
频数直方图的横轴由数据组成，纵轴由频数组成．每个小长方形的高表示相应小组内数据的频数．
【例3】 王大爷开了一个报亭，为了使每天进的某种报纸适量，王大爷对这种报纸40天的销售情况作了调查，这40天卖出这种报纸的份数如下：
136,175,153,135,161,140,155,180,179,166,188,142 ,144,154,155,157,160,162,135,156,148,173,154,145,158,150,154,168,168,155,169,157,157,149,134,167,151,144,155,131.
将上面数 据适当分组，作出频数直方图，说明王大爷每天进多少这种报纸比较合适？
分析：由于这组数据的最大值为188，最小值为131，所以最大值与最小值的差是188 －131＝57，所以取组距为10，分六组，依次为：130≤x＜140,140≤x＜150,150≤x＜160,160≤x＜170,170≤x＜180,180≤x＜190.
解：(1)列频数分布表：
份数(x) 划记 频数
130≤x＜140 正 5
140≤x＜150   7
150≤x＜160 正正正 15
160≤x＜170   8
170≤x＜180   3
180≤x＜190   2
合计  40
(2)画频数直方图，如图所示．
 
由此可知，王大爷每天进150～160份比较合适．
注：分组不同，组距不同，频数分布表和直方图也不同．
 
4．合理分组的方法
分组是列频数分布表和画频数直方图的前提，分组不同，所画出的直方图也不同．
对于一组数据，分组的方法有三种：
一是根据组距分组，首先计算出最大值与最小值的差，根据最大值与最小值的差，适当地确定组距，根据最大值－最小值组距＝组数(收尾法)来确定组数，然后分组，整理数据．
二是根据组数分组，先根据数据的个数和实际需要确定组数，再根据最大值－最小值组数＝组距，取适当的数作为组距，然后分组，整理数据．
三是根据最大值与最小值的差，再根据数据的实际情况，大约确定一个适合的利于计算的数为组距，如5,10等．
只要能正确地反映数据的分布情况，并且能包含所有的数据的分组方法都可以．
【例4】 育才中学为了了解本校学生的身体发育情况，对同年龄的40名女生的身高进行了测量，结果如下(数据均 为整数，单位：厘米)：
168,160,157,161,158,153,158,164,158,163,158,157,167,154,159,166,159,156,162,158,159,160,164,164,170,163,162,154,151,146,151,160,165,158,149,157,162,159,165,157.
请将上述的数据适当分组整理，列出频数分布表，根据频数分布表的数据说明：大部分同学处于哪个身高段？身高的整体分布情况如何？
分析：由于有40个数据，最小的数 据为146厘米，最大的数据为170厘米，其差为24厘米，可将数据分成5组，整理数据列出频数分布表，可从总体上把握数据的分布情况．
解：列频数分布表如下：
身高x(厘米) 划记 频数
146≤x<151   2
151≤x<156 正 5
156≤x<161   18
161≤x<166   11
166≤x<171   4
合计  40
由频数分布表可知，大部分学生处于156厘米到166厘米之间，占抽样调查人数的72.5%，低于156厘米和高于166厘米的学生比较少，分别占17.5%和10%.
 
5．频数直方图与扇形统计图综合应用
在统计图表的综合应用中，频数直方图与扇形统计图组合是出现较多的题目，它们之间的互相结合、互相补充，能多方面地反映数据间的内在关系．
频数分布表和频数直方图能直观显示各组频数分布的情况，也能清楚地反映各组数据中频数的差别，扇形图侧重反映了各部分占总数的百 分比，因而，它们之间互相补充．
直方图和扇形图综合运用主要表现在，根据直方图中频数的个数和对应的数据在扇形图中所占的比例，能够求出数据总个 数，进而根据数据总个数确定直方图中未知组的频数个数，补全直方图，求出扇形图中的百分比值，或圆心角度数等．
【例5】 某学校开展了向贫困地区捐赠图书的活动．全校1 200名学生每人都捐赠了一定数量的图书．已知各年级人数比例的扇形统计图如图①所示．学校为了了解各年级捐赠情况，从各年级中随机抽样调查了部分学生，进行了捐赠情况的统计调 查，绘制成图②所示的频数直方图．根据以上信息解答下列问题．
 
(1)从图②中我们可以看出人均捐赠图书最多的是几年级？
(2)九年级约捐赠图书多少册？
(3)全校大约共捐赠图书多少册？
解：(1)从图中可以看出，人均捐赠图书最多的是八年级．
(2)九年级的学生有1 200×35%＝420(人)，估计九年级共捐赠图书420×5＝2 100(册)；
(3)全校大约共捐赠图书1 200×35%×4.5＋1 200×30%×6＋2 100＝1 890＋2 160＋2 100＝6 150(册)．
6.频数直方图与条形统计图的比较应用
条形图和直方图都是描述数据的重要方式，它们图形类似，都能直观地反映每组中数据的个数(频数)，也能直观地反映出数据(频数)之间的差别．
但它们是两种不同的数据描述方式，在描述数据的侧重点和表现形式上也存在着很多不同．
(1)条形图是用条形的高表示各类别频数的多少，其宽度是固定的；频数直方图是用面积表示各组频数的多少，宽度则表示各组的组距，因此各长方形的高度与宽度均有意义．
(2)由于分组数据具有连续性，频数直方图的各长方形通常是连续排列的，而条形统计图则是分开排列的，中间有空隙．
(3)条形统计图是直观地显出具体数据，频数直方图是表现频数的分布情况．
【例6】 向阳超市为了制定某个时间段收银台开放方案，统计了这个时间段本超市顾客在收银台排队付款的等待时间，并绘制成如图所示的频数直方图(图中等待时间6分钟到7分钟表示大于或等于6分钟而小于7分钟，其他类同)．这个时间段内顾客等待时间不少于6分钟的人数为(    )．
 
A．5     B．7   C．16     D．33
解析：频数直方图可以直观地表示各 部分数目的多少及数量大小．由频数直方图可以很清楚地看到顾客等待时间为6～7 min的有5人，等待时间为7～8 min的有2人，这个时间段内顾客等待时间不少于6分钟的人数为5＋2＝7，故应选B.
答案：B