函数与方程的转化||高中

函数与方程有着密切的关系：方程的根可以转化为函数的图象与轴的交点的横坐标，即函数的零点，也可以转化为两个基本初等函数的图象交点问题．同时函数也可以看作二元方程，通过方程进行研究．这就构成函数与方程相辅相成、相得益彰的关系，所以通过两者之间的相互转化，可以优化解题过程．现分类举例，供同学们参考.

一、将方程问题转化为函数问题

例1（2016年河北省唐山一中高三二模）若关于x的方程在内有两个不同的实数解，则实数m的取值范围为（  ）

A（-∞，-4）∪（4，+∞）      B（4，5）

C（4，8）                                D（5，+∞）∪﹛4﹜

分析：关于x的方程在内有两个不同的实数解，可以转化为

（其中）在区间（0,1）内有唯一零点．

解：令，则原问题等价于函数在区间（0,1）内有唯一零点．即或，解得或. 故选D．

点评：将方程问题转化为函数问题，借助函数的性质进行分析、转化、求解。要注意采用换元法时，新变量的取值范围．

例2（2016-2017学年山西省忻州一中高三第一次月考）已知，则方程的实数根个数为（  ）

（A）1（B）2（C）3（D）1或2或3

分析：方程的实数根个数为两函数在同一直角坐标系中图象的交点个数．

解：在同一直角坐标系中作出两函数y₁=a^|x|=a^x(x>0)，y2=|log_ax| 的图象，如图所示，可知两函数有两个交点，故方程的实数根个数为2，选B．

二、将函数问题转化为方程问题

例3（2016-2017学年浙江省台州中学高三期中考试）已知函数，函数，则函数的所有零点之和为（  ）

（A）（B）（C）（D）

分析：先求出的解析式，然后分段求出函数的零点，再求和即可．

解：由于

当或时，由，解得（舍去）；

当时，方程无解；

当时，由，解得

故函数的所有零点之和为，选B．

点评：通过解方程来求解函数的零点时，要注意函数的定义域，防止增根．因此解方程之前，先明确函数的定义域．

例4 对于函数，若存在x₀∈R，使得成立，则称点（x₀,x₀）为函数的不动点．

（1） 已知函数（a≠0）有不动点（1,1）和（-3，-3）求实数a,b的值；

（2） 若对于任意实数b，函数（a≠0）总有两个相异的不动点，求实数a的取值范围.

分析：函数的不动点是由方程的根组成的，将函数问题转化为方程问题，利用方程知识求解.

解：（1） 由不动点的定义，有，所以ax²+(b-1)x-b=0，把x=1和x=-3分别带入上式，则有

       （2）对于任意实数b,函数总有两个相异的不动点，即对于任意实数b,方程有两个相异的实数根，即有ax²+(b-1)x-b=0中的Δ=(b-1)²+4ab>0对任意实数b恒成立，即b²+(4a-2)b+1>0对任意实数b恒成立，所以(4a-2)²-4<><><>

点评：本题抓住不动点的本质，将函数问题转化为方程根的分布问题，从而借助方程的性质——判别式构造不等式，再利用不等式只是求解.

跟踪练习：

本文来自《数学周报》高考版理科第3期

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