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今天开始，数姐每天总结每个年级章节的知识点，大家在开学之前还要在系统学一下，今天是新初一的知识点，新初一来收藏了~ 第一章 有理数 ①我们知道，像3,1.8％，3.5这样大于0的数叫做正数。像-3， -2.7％，-4.5，-1.2这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数。有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“ ”（正）号。例如， 3， 2， 0.5， ，…就是3，2, 0.5，…。一个数前面的“ ”“-”号叫做它的符号。 ②0既不是正数，也不是负数。 ③中国古代用算筹（表示数的工具）进行计算，红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数。 ④把0以外的数分为正数和负数，它们表示具有相反意义的量。随着对正数、负数意义认识的加深，正数和负数在实践中得到了广泛应用。在地形图上表示某地的高度时，需要以海平面为基准（规定海平面的海拔高度为0m），通常用正数表示高于海平面的某地某地的海拔高度，用负数表示低于海平面的某地的海拔高度。例如，珠穆朗玛峰的海拔高度为8844.43m。吐鲁番盆地的海拔高度为-155m。记账时，通常用正数表示收入款额，用负数表示支出款额。 ⑤0是正数与分数的分界。0℃是一个确定的温度，海拔0m表示海平面的平均高度。0的意义已不仅是表示“没有”。 ①我们学过的数有： 正整数，如1，2,3，…； 零，0； 负整数，如-1，-2，-3，…； 正分数，如，，，0.1,5.32，…； 负分数，如-0.5，-，-，-，-150.25，…。 ②正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。 ③整数和分数统称为有理数（rational numbe）。 ④从小学开始，我们首先认识了正整数，后来又增加了0和正分数，在认识了负整数和负分数后，对数的认识就扩充到了有理数范围。 ①在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴（number axis），它满足以下要求： ⑴在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点（origin）； ⑵通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； ⑶0是正数和负数的分界点；原点是数轴的“基准点”。 举个数轴的栗子： 温馨提示：数轴上也可以是分数，小数！ 负数在数轴上：从原点向左 正数在数轴上：从原点向右（注意原点是0） 归纳（填空题，自己填着做）： 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的（ ） 边，与原点的距离是（ ）个单位长度；表示数－a的点在原点的（）边，与原点的距离是（ ）个单位长度。 归纳：一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点左右，表示-a和a，我们说这两点关于原点对称。 ①像2和-2,5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数（opposite number）。这就是说，2的相反数是-2，-2的相反数是2；5的相反数是-5，-5的相反数是5. ②一般地，a和-a互为相反数。特别的，0的相反数是0。这里，a 表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0。 例如： 当a＝1时，-a＝-1,1的相反数是-1；同时，-1的相反数是1。 ①一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值 （absolute value），记作▕ a ▏。这里的数a可以是正数、负数和0。 ②由绝对值的定义可知： 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即 ⑴如果a＞0，那么▕ a ▏＝a； ⑵如果a＝0，那么▕ a ▏＝0； ⑶如果a＜0，那么▕ a ▏＝-a。 ③数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。 ④一般地， ⑴正数大于0,0大于负数，正数大于负数； ⑵两个负数，绝对值大的反而小。 例如（填空题，自己填着做）： 1＿0,0＿-1,1＿-1，-1＿-2。 ⑤异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值。 ① 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0. ③ 一个数同0相加，仍得这个数。 温馨提示：计算时，先定符号，再算绝对值！ 有理数加法法则 有理数的加法中同样也适用加法交换律、结合律！ 有理数的加法中，两个数相加，交换数的位置，和不变。 加法交换律：a b＝b a 有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 加法结合律：（a b） c＝a（b c） 有理数减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数。 有理数减法法则也可以表示成：a-b＝a （-b） 有理数的加减混合运算中引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算：a b-c＝a b （-c） 归纳： 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积是负数；负数乘正数，积也是负数。积的绝对值等于各乘数绝对值的积。 归纳： 负数乘负数，积为正数，乘积的绝对值等于各乘数绝对值的积。 ①一般地，我们有有理数乘法法则： ⑴两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 。 ⑵任何数与0相乘，都得0。 ②有理数相乘，可以先确定积的符号，再确定积的绝对值。 ③要得到一个数的相反数，只要将它乘-1. ④乘积是1的两个数互为倒数。 温馨提示：多个有理数相乘，可以把它们按顺序相乘！ 归纳： 几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。 有理数乘法也同样适用乘法交换律、结合律与分配律.。 ⑤一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。 乘法交换律：ab＝ba ⑥一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 乘法结合律：（ab）c＝a（bc） ⑦a×b也可以写为a·b或ab。当用字母表示乘数时，“×”号可以写为“·”或省略。 ⑧一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 分配律：a（b c）＝ab ac。 ⑨运算律在运算中有重要作用，它是解决许多数学问题的基础。 有理数除法法则： 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数 可以表示为：a÷b＝a·（b≠0） 从有理数除法法则，容易得出： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。（这是有理数除法法则的另一种说法） 温馨提示：分数可以理解为分子除以分母！ ①一般地，n个相同的因数a相乘，即记作aⁿ，读作“a的n次方”。乘方的结果叫做幂（power）。在aⁿ中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent），当aⁿ看作a的n次方的结果时，也可读作“a的n次幂”。 例如，在9⁴中，底数是9,指数是4,9⁴读作“9的4次方”，或“9的4次幂”。 ②根据有理数的乘法法则可以得出： 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 显然，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。 ③做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： ⑴先乘方，再乘除，最后加减； ⑵同级运算，从左到右进行； ⑶如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 ①10的乘方有如下的特点： 10²＝100，10³＝1000，10⁴＝10000,…。 一般地，10的n次幂等于10…0（在1的后面有n个0），所以可以利用10的乘方表示一些大数，例如： 567000000＝5.67×100000000＝5.67×108，读作“5.67乘10的8次方（幂）”。 这样不仅可以使书写简短，同时还便于读数 像上面这样，把一个大于10的数表示成a×10ⁿ的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），使用的是科学记数法。 ①“约有五百人参加了今天的会议。”五百这个数只是接近实际人数，但与实际人数还有差别，它是一个近似数（approximate number）。 举个栗子（自己填着做）：按四舍五入法对圆周率π取近似数时，有 π≈3（精确到个位）， π≈3.1（精确到0.1，或叫做精确到十分位）， π≈3.14（精确到0.01，或叫做精确到百分位）， π≈3.142（精确到 ，或叫做精确到 ）， π≈3.1416（精确到 ， 或叫做精确到 ）， …… |
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