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轴对称变换是初中几何的一种重要变换，常规解题中，同学们往往不太注意或擅长运用。其实，在解题中有意识地、合理运用轴对称进行变换，往往能使图形化折为直，使题目条件化隐为显，从而迅速地寻求解决问题的突破口。那么哪些题型可考虑构造轴对称轴呢？大致来说有三类： 看见垂直想对称;半角模型有对称;最短距离要对称.本期介绍见垂直条件用对称的解题策略。
【例1】（选自全品作业本）（难度系数☆☆）在Rt△ABC中,∠BAC=90°,P是BC的中点,M,N在AB,AC上,PM⊥PN. 求证：MN2=BM2 CN2 【分析】从中点策略来看，极晚想到倍长MP，构造8字型全等，从构造轴对称的角度来看，见垂直构对称也不失为良策。二者构图的理念不同，却殊途同归。 【解答】作M关于P的对称点M'，连接M'C,M'N。则MN=M'N，MP=M'P。 ∵BP=CP,MN=M'N,∠BPM=∠CPM' ∴△BPM≌△CPM' ∴BM=CM'，∠B=∠PCM' ∴AB∥CM' ∴∠A=∠ACM'=90° ∴M'N2=CM'2 CN2 ∴MN2=BM2 CN2 【变式】如图，D是△ABC的BC边的中点，过D作两条互相垂直的射线，分别交AB于E，交AC于F.求证：BE CF>EF 【例2】（选自草根群）（难度系数☆☆☆）如图，D是△ABC外一点，连接BD,CD，∠ABD=∠ACD，AM⊥BD，垂足为M，若BM=MD CD，求证：AB=AC。 【分析】这道题的关键是化折为直，同学们可能最先想到的是把折线段MDC中较短的一段MD扳直，而较难想到把较长的一段CD扳直。然而后者的思维才是破解之道， 仔细一想，第二种既化折为直，也利用了见垂直构对称的策略，如此一来，起到了一石二鸟的功效，题目自然有解。 【解答】延长MD到B'，使DB'=DC ∵BM=MD CD，DB'=DC ∴BM=MB' ∵AM⊥BM ∴AM垂直平分BB' ∴AB=AB' ∴∠1=∠3 ∵∠1=∠2，∠4=∠5 ∴∠ACB'=∠AB'C ∴AC=AB' ∴AB=AC 【变式】在四边形ABCD中，∠B=90°，E是BC边上的一点，∠ACB=∠ADE，若DE=EC 2EB，求证:AC=AD. 【总结】对称是自然界和谐统一的表现，也是数学美的具体形式。正如古希腊哲学家欧里庇得斯所说:“几何,当它与艺术结合起来时,其力量是不可抗拒的”。如果题目本身的图形就是轴对称图形，要考虑轴对称的性质，画出其对称轴，即'有形添轴'，如正方形，常常要注意对角线两侧的对称性。若题目有轴（如垂直平分线，高，角平分线等），且条件比较分散，则可考虑”有轴构图“！ 有道是： 左右一样叫对称 看见垂直想对称 半角模型有对称 最短距离要对称 |
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