单球面折射的齐明点

最近在看钟锡华先生编著的《现代光学基础》，第一章介绍齐明点时给出了一个例子，就是今天要讨论的单球面折射时的齐明点。书中给出了齐明点的位置，但是没有给推导过程。我就试着推导了一下，放在这里做个笔记。
齐明点(aplanatic points)又称为等光程点或不晕点。简单的说就是在此处发出的光线经过折射后可以精确汇聚于一点，没有球差、彗差和像散。
如下图：

Q0$Q_0$ 点是物点，Q′0$Q_0^{\prime }$ 点是像点。物点向右方射出的光线要求都能汇聚到像点上。其中圆球内的折射率为n$n$ ,外部为 n′$n^{\prime }$，并且n>n′$n>n^{\prime }$ 。根据三角形正弦定理，可知如下两组关系：

sin(u)r=sin(i)ssin(u′)r=sin(i′)s′$$\begin{gathered} \frac{sin(u)}{r}=\frac{sin(i)}{s} \\ \frac{sin(u^{\prime })}{r}=\frac{sin(i^{\prime })}{s^{\prime }} \end{gathered}$$

由折射定律我们还知道：

nsin(i)=n′sin(i′)$$nsin(i)=n^{\prime }sin(i^{\prime })$$

前两个式子可以变个形，同时利用折射定律：

s=sin(i)sin(u)r=n′nsin(i′)sin(u)rs′=sin(i′)sin(u′)r=nn′sin(i)sin(u′)r$$\begin{gathered} s=\frac{sin(i)}{sin(u)}r=\frac{n^{\prime }}{n}\frac{sin(i^{\prime })}{sin(u)}r \\ {s}^{\prime }=\frac{sin(i^{\prime })}{sin(u^{\prime })}r=\frac{n}{n^{\prime }}\frac{sin(i)}{sin(u^{\prime })}r \end{gathered}$$

根据三角形内角和关系，我们还有：

u+i=u′+i′$$u+i=u^{\prime }+i^{\prime }$$

观察上面的式子，我们发现如果让：

s=n′nr$$s=\frac{n^{\prime }}{n}r$$

那么 i′=u$i^{\prime }=u$, i=u′$i=u^{\prime }$。 这时：

s′=nn′r$$s^{\prime }=\frac{n}{n^{\prime }}r$$

是个定值。也就是说无论入射角u$u$ 是多少，都会汇聚到同样一个点。这一对点就称为齐明点。

第一个发现齐明点的人很了不起，我知道结论了都推导了小半天。。。

齐明点对显微镜镜头设计很有用，物镜为了收集物体发出的更多的光，无法满足傍轴条件。利用齐明点的特性，只要将物体放置在物镜最前面镜片的齐明点上，就能消除像差。当然具体实现起来还有各种技巧，这里就不多说了。下一篇博客讲讲阿贝正弦定理。