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一、定义域与值域
例1、已知函数 ，（1）若 的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若的值域为R，求实数a的取值范围。 分析：定义域为R应转化为不等式恒成立问题；而值域为R应转化为函数的值域包含 ，即函数值取遍所有的正数。 解析：（1）的定义域为  对任意 恒成立。当 时，不等式化为 ，显然不合题意；当 时，恒成立解得。综上可得时，函数的定义域为R。 （2）令，则函数，的值域为取遍一切正实数值是值域的子集。当时，函数，值域为R；当时，，此时命题解得。综上可得当时，函数的值域为R。 二、值域与范围
例2、如果函数的值域为，求实数m的取值范围。 分析：的值恒为非负数是“范围”，而不是“值域”，只要自变量x在定义域内取一切值，所对应的的每一个值都必须大于等于零，但不一定必须取得大于等于零的一切数。而值域为，是指自变量x在定义域内取一切值时，所对应的函数值必须能且只能取到一切大于等于零的数。 解析：，即的值域为。由题意，当=0，即或时，函数的值域为。 若此题改为：如果函数的值恒为非负数，求m的取值范围。 由恒成立，得，解得，故此时实数m的取值范围是。
三、定义域与有意义
例3、（1）函数的定义域是，求a的取值范围。（2）函数在上有意义，求a的取值范围。 分析：一般地，给定函数的定义域，往往转化为解不等式问题，而给定函数在某区间上有意义，往往转化为恒成立问题。 解析：（1）。当时，的解集为R，于是的定义域应为R，而不是，故不满足题意。当时， ，即的定义域为。又由题设知的定义域为，得，解得。综上可知，满足题意的a的取值范围是。 （2）。因在上单调递增，在上的最大值为，所以要使一切都有，只要便可，故a的取值范围为，即。 四、有解与恒成立
例4、（1）若不等式，在上恒成立，求实数k的取值范围。（2）若不等式，在内有解，求k的取值范围。 分析：一般地，有解，有解；恒成立，恒成立。 解析：（1）由对恒成立 。 记，由二次函数在上单调递增，得，所以，即。 ∴时，对恒成立。 （2）在上有解。 记 。 由，知函数与在上都是减函数，所以在上是减函数。 ∴当时，；当时，。 ∴时原不等式在上有解。
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