高中数学：导数的计算与应用

一、知识点：

1、基本初等函数的导数公式表

函数	导数

2、导数的运算法则

导数运算法则

1.  2.  3.

推论：

（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

3、复合函数的概念  

一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。

4、复合函数的导数  

复合函数的导数和函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.

若，则

5、函数的单调性与导数的关系

在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减.

说明：特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数.

6、求解函数单调区间的步骤：

（1）确定函数的定义域；

（2）求导数； 

（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；

（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间.

考点一：导数的基本运算

例1、（1）求的导数；

（2）求y＝的导数。

分析：（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导. 有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量。

解析：（1），

（2）y＝－x＋5－

y＇＝3×（x）＇－x＇＋5＇－9＇＝3×－1＋0－9×（－）＝。

 

考点二：复合函数的导数计算

例2、求函数y=（2x²－3）的导数.

分析：y可看成两个函数的乘积，2x²－3可求导，是复合函数，可以先算出对x的导数.

解析：令y=uv，u=2x²－3，v=， 令v=，ω=1+x²

 = （1+x²）′_x

=

∴y′_x=（uv）′_x=u′_xv+uv′_x

=（2x²－3）′_x·+（2x²－3）·

=4x

即y′_x=

考点三：利用导数研究函数的图像

例3、设＜b，函数的图像可能是

分析：通过导数研究函数图像的变化规律，也是考试的热点题型.

解析：，由得，∴当时，取极大值0，当时，取极小值且极小值为负. 故选C. 或当时，当时，y>0，选C.

 

考点四：求函数的单调区间

例4、已知函数f（x）=ax⁴+bx²+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x－2.

（1）求y=f（x）的解析式；

（2）求y=f（x）的单调递增区间.

解析：（1）由题意知f（0）=1，（1）=1，f（1）=－1.

∴

∴c=1，a=，b=－，

f（x）=x⁴－x²+1.

（2）∵（x）=10x³－9x，

由10x³－9x>0，得x∈（－，0）∪（，+∞），

则f（x）的单调递增区间为（－，0）和（，+∞）.

 

考点五：利用导数解决函数的单调性问题

例5、已知函数，.

（Ⅰ）讨论函数的单调区间；高考资源网

（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围.

分析：将函数在某区间上单调转化为导函数或在区间上恒成立的问题，是解决这类问题的通法. 本题也可以由函数在上递减，所以求解.

解析：（Ⅰ）求导得

当时，，，在上递增；

当时，，求得两根为，

即在上递增，在上递减，在上递增。

（Ⅱ）因为函数在区间内是减函数，所以当时恒成立，结合二次函数的图像可知解得.