想到全等却不会证？辅助线又不会添？一条对称轴就能帮到你

今天的例题依然是关于全等三角形中轴对称型的一道经典例题。本题运用两种的辅助线的添法，来实现证明轴对称型全等三角形，以此得到关键的条件性质完成后续的推导。

例12 如图：5-31，已知：△ABC中，BC=2AB，D是BC的中点，E是BD的中点，求证：AC=2AE

图5-31

分析：本题要证明AC=2AE，这是两条线段之间的倍半关系，所以可根据线段倍半关系的定义，将倍线段AC二等分，也就是取AC的中点F以后，应证AC的一半也就是AF和AE相等。

在作出了F是AC的中点后，由已知D是BC的中点，就出现了两个中点，是多个中点问题，就可以应用三角形中位线的基本图形的性质进行证明。由于D、F所在的线段BC、AC有公共的端点C，可以组成三角形，所以DF这两个中点的连线就是三角形的中位线。而现在图形中是有三角形而没有中位线，所以应将中位线添上，也就是联结DF（如图5-32），就可得DF∥BA，DF=1/2·AB。另一方面，由条件BC=2AB，且D是BC的中点，所以有BD=BA，但E也是BD的中点，从而得DE=1/2·BD=1/2·AB，所以DE=DF。

图5-32

这样，由我们要证的结论AE=AF，就可以发现△ADE和△ADF必定是一对轴对称型全等三角形。由于在这两个三角形中已经出现了两条边对应相等的条件，而第三条边相等是结论，不能用，这样第三个条件只能是证明这两条边所夹的角相等，也就是应证∠ADE=∠ADF。而由DF∥BA，可得∠ADF=∠BAD，由BD=BA，又可得∠BDA=∠BAD，所以上述性质可以证明。

本题在根据线段之间的倍半关系的定义进行分析时，也可以先作出半线段的两倍，也就是延长AE到F，使FE=AE，那么问题就应证AC=AF。

而在作出了FE=AE后，由于条件中还出现BE=DE，且AF、BD相交于E，就出现了两组相等线段都位于一组对顶角的两边，且成一直线，所以可添加一对中心对称型全等三角形进行证明。添加的方法是将四个端点两两联结起来，于是联结DF（如图5-33），则由FE=AE，∠FED=∠AEB，DE=BE，就可得：△FED≌△AEB，AB=FD，∠ABE=∠FDE。这样由条件BC=2AB，就可得BC=2FD，而已知BD=CD，所以FD=CD。

图5-33

现在由我们要证的结论AF=AC，就可以发现△AFD和△ACD是一对轴对称型全等三角形。而在这两个三角形中，现在已经出现的条件是FD=CD和AD=AD，所以还要证明一个条件。但第三条边相等的性质是结论，不能用，所以只能证这两边所夹的角相等，也就是要证∠ADF=∠ADC。由条件B、D、C成一直线，所以∠ADC是△BAD的外角，就有∠ADC=∠B+∠BAD，而∠ADF=∠FDE+∠BDA，且已经证明∠B=∠FDE，所以问题就转化成要证∠BAD=∠BDA，但我们已经有BD=BA，所以这一性质可以证明。