题目 分析 分析:要证的是两条线段相等,首先想到的就是利用三角形全等,但是在图形中找不到包含AE和DE的两个全等三角形,所以就需要来构造这样一对包含AE和DE的全等三角形,下面就从不同的角度罗列的几种构造的方法。 方法一 象这样添两条高,为什么这样添呢? 1、构造了两个包含AE、DE的直角三角形 2、这是两个等腰三角形的高(等腰三角形三线合一) 3、这又是两个“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”的基本图形 接下来如何证明这两个三角形全等呢?有一对直角显然相等,再证另一对角相等,有点难,那么围绕我们添的这两条高来分析一下,看看有没有可能得到对应边相等. 好了,证明三角形全等的三个条件都搞定了,这个方法的关键就是两条高,因为有了45度等腰直角三角形,这条高的作用就更加的突出了. 方法二 延长DF交AC于点N,联结NE,构造这样一对包含AE和DE的三角形,如何来证它们全等呢? 利用等腰直角三角形+矩形,将DE与AN通过BD联系在一起,证得相等;同时得到直角,再利用等腰直角三角形得到FE=NE,这样得到两组对应边相等,还差它们的夹角 这个方法主要就是构造了一个矩形和一对有135度角的全等三角形,怎么想到135度的呢,因为135度是45的补角嘛~! 还可以证这对三角形全等: 这样是不是更直接了一些呢! 方法三 因为点E是FC的中点,我们常用中点来构造一对关于中点成中心对称的全等三角形。 如图,延长DE至点M,使EM=DE,分别联结AD,AM,MC,很容易证得这两个三角形全等吧! 然后再证第二对三角形全等~ 这样,最终我们得到了一个等腰直角三角形+等腰三角形的中线,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,搞定! 这个方法还是我们常用的,围绕中点构造中心对称的全等三角形,你要好好琢磨琢磨噢! 方法四 补全这个正方形,将AE转换到EM的位置 有没有发现,DF//NE//MC+点E是FC的中点,利用比例得到点N是DM的中点,OK,再证DE=ME,这个方法也很巧妙吧! 其它方法 这道题的证法很多,以上是四种比较简单的容易想到的证法,下面再给大家一种添辅助线的方法,有兴趣的童鞋可以自己 试一试噢! |
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