折叠 编辑本段 概述直角三角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理):直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式Rt△ABC中,∠ACB=90°,cd是斜边ab上的高,则有射影定理如下:(1)(CD)^2;=AD·DB, (2)(BC)^2;=BD·BA , (3)(AC)^2;=AD·AB 。等积式 (4)ACXBC=ABXCD(可用面积来证明) 折叠 编辑本段 直角三角形折叠 直角三角形射影定理所谓射影,就是灯光投影。直角三角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理):直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式: 如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高,则有射影定理如下:射影定理 (1)BD²=AD·DC (2)AB²=AD·AC (3)BC²=CD·CA (4)AB×BC=AC×BD(可用“面积法”或相似来证明) 折叠 证明解: 在△BAD与△ACD中, ∵∠ABD+∠BAD=90°,且∠CAD+∠C=90°, 射影定理简图 ∴∠ABD=∠C, 又∵∠BDA=∠BDC=90° ∴△BAD∽△CBD ∴ AD/BD=BD/CD 即 BD²=AD·DC 其余同理可得可证 折叠 编辑本段 射影定理折叠 编辑本段 证明已知:三角形中角A=90度,AD是高. 证明1:设点A在直线BC上的射影为点D,则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD,且 BD=c·cosB,CD=b·cosC,∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB 同理可证其余。 证明2:由正弦定理,可得:b=asinB/sinA,c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA =acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA. 同理可证其余。 折叠 用勾股证射影∵AD²=AB²-BD²=AC²-CD², ∴2AD²=AB²+AC²-BD²-CD²=BC²-BD²-CD²=(BC+BD)(BC-BD)-CD²=(BC+BD)CD-CD²=(BC+BD-CD)CD=2BD×CD. 故AD²=BD×CD. 运用此结论可得:AB²=BD²+AD²=BD²+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC, AC² =CD²+AD²=CD²+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB. 综上所述得到射影定理。同样也可以利用三角形面积知识进行证明。 折叠 任意三角形任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”: △ABC的三边是a、b、c,它们所对的角分别是A、B、C,则有 a=b·cosC+c·cosB, b=c·cosA+a·cosC, c=a·cosB+b·cosA。 注:以“a=b·cosC+c·cosB”为例,b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB,故名射影定理。 折叠 编辑本段 面积射影定理面积射影定理:“平面图形射影面积等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。” COSθ=S射影/S原 (平面多边形及其射影的面积分别是S原,S射影,它们所在平面所成锐二面角的为θ) 折叠 证明思路证明思路:因为射影就是将原图形的长度(三角形中称高)缩放,所以宽度是不变的,又因为平面多边形的面积比=边长的平方比。所以就是图形的长度(三角形中称高)的比。那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。在两平面中作一直角三角形,并使斜边和一直角边垂直于棱(即原多边形图的平面和射影平面的交线),那么三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比,即为平面多边形的面积比,而将这个比值放到该平面三角形中去运算,即可。 |
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