阅读与思考 婆罗摩笈多(Brahmagupta),是一位印度数学家和天文学家,书写了两部关于数学和天文学的书籍,他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位,他的负数概念及加减法运算仅晚于中国《九章算术》,而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的,他还提出了著名的婆罗摩笈多定理,该定理的内容及部分证明过程如下: 已知:如图1,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC⊥BD于点P,PM⊥AB于点M,延长MP交CD于点N,求证:CN=DN. 证明:在△ABP和△BMP中, ∵AC⊥BD,PM⊥AB, ∴∠BAP+∠ABP=90°,∠BPM+∠MBP=90°. ∴∠BAP=∠BPM. ∵∠DPN=∠BPM,∠BAP=∠BDC. ∴… (1)请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程,完成剩余的证明部分. (2)已知:如图2,△ABC内接于⊙O,∠B=30°,∠ACB=45°,AB=2,点D在⊙O上,∠BCD=60°,连接AD,与BC交于点P,作PM⊥AB于点M,延长MP交CD于点N,则PN的长为 . 解:(1)在△ABP和△BMP中,∵AC⊥BD,PM⊥AB, ∴∠BAP+∠ABP=90°,∠BPM+∠MBP=90°. ∴∠BAP=∠BPM. ∵∠DPN=∠BPM,∠BAP=∠BDC. ∴∠DPN=∠PDN, ∴DN=PN, 同理:CN=PN, ∴CN=DN; (2)∵∠ACB=45°,∠BCD=60°, ∴∠ACD=45°+60°=105°, 又∵∠D=∠B=30°, ∴∠DAC=180°﹣∠ACD﹣∠D=45°, ∴∠APC=180°﹣45°﹣45°=90°,△APC是等腰直角三角形, ∴PA=PC,∠CPD=90°, 在△CPD和△APB中, ∵∠CPD=∠APB,∠D=∠B,PA=PC, ∴△CPD≌△APB(AAS), ∴CD=AB=2, ∵∠CPD=90°,PM⊥AB于点M,延长MP交CD于点N, ∴同(1)得:CN=DN, ∴PN=CD/2=1; 故答案为:1. 考点分析: 三角形的外接圆与外心;含30度角的直角三角形;圆内接四边形的性质. 题干分析: (1)由直角三角形的性质∠BAP=∠BPM.由圆周角定理得出∠DPN=∠BPM,∠BAP=∠BDC.证出∠DPN=∠PDN,得出DN=PN,同理CN=PN,即可得出结论; (2)由圆周角定理得出∠D=∠B=30°,由三角形内角和定理求出∠DAC=45°,得出△APC是等腰直角三角形, ∴PA=PC,∠CPD=90°,由AAS证明△CPD≌△APB,得出CD=AB=2, 同(1)得出CN=DN,由三角形内角和定理得出PN=CD/2=1即可. |
|
来自: 学思践悟必有成 > 《47~数学(大中小学)》