(2018·南京)如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=4,以CD为直径作⊙O.将矩形ABCD绕点C旋转,使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切,切点为E,边CD′与⊙O相交于点F,则CF的长为 . 【分析】连接OE,延长EO交CD于点G,作OH⊥B′C,由旋转性质知∠B′=∠B′CD′=90°、AB=CD=5、BC=B′C=4,从而得出四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形且OE=OD=OC=2.5,继而求得CG=B′E=OH=根号(OC²-CH²)=2,根据垂径定理可得CF的长. 【解答】解:连接OE,延长EO交CD于点G,作OH⊥B′C于点H, 则∠OEB′=∠OHB′=90°, ∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′, ∴∠B′=∠B′CD′=90°,AB=CD=5、BC=B′C=4, ∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形,OE=OD=OC=2.5, ∴B′H=OE=2.5, ∴CH=B′C﹣B′H=1.5, ∴CG=B′E=OH=根号(OC²-CH²)=2, ∵四边形EB′CG是矩形, ∴∠OGC=90°,即OG⊥CD′, ∴CF=2CG=4, 故答案为:4. |
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