【原】对数平均不等式的证法与应用

1、对数平均不等式：

(a+b)/2＞(a-b)/(lna-lnb)＞√(ab) 

2、证法一：比值代换法

（1）设b/a=x＞1，代换得

√x-1/√x＞lnx＞2(x-1)/(x+1)

（2）用积分原理法证之。(见《积分原理法》)

3、证法二：函数凹凸法

（1）凸函数——反比例函数y=1/x（x＞0）图象上有A、B两点

（2）A(a，1/a)、B(b，1/b)（b＞a＞0），过[(a+b)/2，2/(a+b)]作切线。由切线梯形面积＜曲边梯形面积得，(a+b)/2＞(a-b)/(lna-lnb)。

（3）A(√a，1/√a)、B(√b，1/√b)（b＞a＞0），由弦边梯形面积＞曲边梯形面积得，(a-b)/(lna-lnb)＞√(ab)。

4、应用：

（1）函数y=klnx-x（k＞0），y′=k/x-1（x=k为极大点）

（2）已知y=c与y=klnx-x交于A(a，c)、B(b，c)两点（b＞a＞0）

（3）求证：(a+b)＞2k、ab＜k^2.

（4）证明：c=klna-a=klnb-b，得k=(a-b)/(lna-lnb)，由对数平均不等式得证。