【每日一题55】一道好题 求与直角三角形两边相切的圆的最大面积

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55.在Rt△QRP中，∠P=90°，QR=5，PR=4，点O是其边上或其内部的动点， 以O为圆心的⊙O与Rt△QRP的两边相切．设⊙O的面积为S，请确定S的最大值，并说明理由．

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【每日一题54】分析解答（原题见页底“了解更多”链接）

54.解

(1) 正方形EFGH＝＞EF=EH，∠HEF=90°

＝＞∠NEH＋∠OEF=90°

NH⊥y轴＝＞∠NEH＋∠NHE=90°

＝＞∠OEF=∠NHE

同理∠NEH =∠EFO

＝＞Rt△NHE≌Rt△FEO

同理Rt△NHE≌Rt△GFM

＝＞GM=OF=t，FM =OE=4－t

＝＞OM=ON=4，

＝＞C(4，t)

抛物线y=ax^²＋bx＋c过点O，G两点，

＝＞c=0 且 t=16a＋4b＋c

＝＞b=1/4t－4a

当t=1时，

抛物线为y=ax^²＋（1/4－4a）x。。。（1）式

NE=OF=1，OE=3，

HN=OE=3，H（3，4）

直线OH为y=4/3x 。。。（2）式

联立（1）（2）式，解得

x=0 或x=4＋13/（12a）

所以抛物线与直线OH总有两个交点.

分两种情况讨论：

①当a＞0，时，4＋13/（12a）>3，

只有交点O，所以a＞0符合题意；

②当a＜0时，

若4＋13/（12a）>3，则得

a＜－13/12，

若4＋13/（12a）<0，则得：a>－13/48，

又a<0，

∴－13/48<a<0.

∴a的取值范围是

a＞0或a＜－13/12或－13/48＜a＜0.

(2) 抛物线为：y=ax^²＋（1/4－4a）x，

顶点坐标为

(－t/(8a)＋2，－1/(64a)（t－16a）^²)

∵对称轴是直线x=2－1/(2t)，

∴－t/(8a)＋2=2－1/(2t)，

∴a=1/4t^²

∴顶点坐标为

(2－1/(2t)，－（t－1/4）^²)

即顶点纵坐标－（t－1/4）^²是关于t的二次函数且该抛物线开口向上，在对称轴t=1/4的左边，且随着t的增大，纵坐标增大，抛物线的顶点向上移动.

∴t的取值范围为0＜t≤1/4

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