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各位是否记得，2018年的河南中考数学试卷，第23题—抛物线综合题，最后一问考察了个“二倍角的存在性”。请点链接： 那么，关于二倍角的存在性，更甚，三倍角、半角等的存在性，应当如何去解决呢？是否有一种大致通用的方法呢？ 其实，关于倍角存在性，在2017年江苏盐城市中考数学试卷中也有考察。笔者在去年也已更新以下两篇文章： 倍角存在性，其实是先构造出2倍角或3倍角，然后求其正切值，借助正切值相等，保证等角存在性。 而3倍角的构造，可以借助阿基米德三等分角的思路进行： 若∠AOB=α，则∠ACB=3α。具体做法是：在∠AOB的边OB上任取一点P，以P为圆心OP长为半径画弧交OA于C，再以C为圆心，OP（或PC）的长为半径画弧，交OB于点Q。则∠ACQ即为3倍角。依此，可构造出n倍角（不大于90°）。 半角构造，只需作该角的平分线即可。 下面本文由浅入深地为大家介绍倍半角存在性问题。 注：以下本文授权转自微信公众号：做中学学中做。 【一倍等角】 【2018-2019（上）大东区期末压轴题】 【提示】（2）这一问需要分别表示出点D、E的坐标，然后取出DE的长度，用含x的代数式表达； （3）需要分情况讨论， 第一种情况：当∠ BMO=∠ BDF时： 方法一:设点D的横坐标为x，根据（2）的启发可得在等腰直角△DEF和△AEG中，分别用含x的代数式表示出线段AE和线段DF、EF，然后根据tan的值，列方程求解。 方法二：借助“一线三直角” 第二种情况与第一种情况用法相同。 解法一：
解法二：
【二倍角】 下面这道练习题，改编自2017·盐城中考数学试题。基本只是象限的变化而已。 【拓展练习】 本文只对（3）作详细解析， （3）应分情况讨论：
第一种情况：当∠DCM=2∠ABC时， 方法一：过点C作x轴的平行线，根据“两直线平行，内错角相等”， 可知，∠DCE=∠MCE=α； 通过证明：△BOC和△CED相似，表示出点D的坐标，代入抛物线解析式中求参量的值；进而求出点D的坐标；
方法二：构造等腰△CB'B，借助外角； 通过求解直线B'C的解析式，与抛物线解析式联立方程组求点D坐标；
【交流拓展】 借助平行线推广出另外几种作法如下： 直线OF与直线BC'均与直线CD平行；
详细解析如下： 方法三：在方法二的启发下，作点C的对称点C'，构造等角为2α的等腰三角形（亦可理解为直线CD与直线BC'平行，得内错角相等）；
方法四：在方法二的启发下，借助直角三角形斜边中线长度等于斜边长度的一半，构造等腰三角形（亦可理解为直线CD与直线OF平行，得内错角相等）；
方法五：借助一线三直角，表示点D的坐标，代入抛物线解析式中，求出参数的值；
第二种情况：当∠CDM=2∠ABC时，其余方法可参考上述，在此仅提供一种。
【变式练习】 第一种情况：已知tan2α的值，可求tanα的值；
第二种情况：借助“一线三直角”
【三倍角】 【2016年铁西区一模第25题】
本文只对（3）作详细解析， 方法一：
方法二：
倍角大练兵 接下来以沈阳市2013年中考数学试卷压轴题为参考练习（略改）： 【原题再现】
【解析（2）】
【解析（3）】 第一问：二倍角 第一种情况：当点M在点B的左侧时， 通过构造等腰三角形，来理解二倍角
此时点M恰好落在y轴上，
第二种情况：当点M在点B的右侧时，
【解析（3）】 第二问：三倍角
第一种情况解析：
第二种情况解析： 方法一：
方法二：
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