2018年齐齐哈尔中考数学压轴题分析

似曾相识

【题目】

（2018·齐齐哈尔）综合与探究：

如图1所示，直线y＝x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x²+bx+c经过点A，C．

（1）求抛物线的解析式

（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值；

（3）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．

①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为 9/2或4 ；

②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

注：二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（-b/2a，(4ac-b²)/4a）

【答案】解：（1）将A（﹣4，0）代入y＝x+c

∴c＝4

将A（﹣4，0）和c＝4代入y＝﹣x²+bx+c

∴b＝﹣3

∴抛物线解析式为y＝﹣x²﹣3x+4

（2）做点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C′，连OC′，交直线l于点E．

连CE，此时CE+OE的值最小．

∵抛物线对称轴位置线x=-3/2

∴CC′＝3

由勾股定理OC′＝5

∴CE+OE的最小值为5

（3）①当△CNP∽△AMP时，

∠CNP＝90°，则NC关于抛物线对称轴对称

∴NC＝NP＝3∴△CPN的面积为9/2

当△CNP∽△MAP时

由已知△NCP为等腰直角三角形，∠NCP＝90°

过点C作CE⊥MN于点E，设点M坐标为（a，0）

∴EP＝EC＝﹣a，

则N为（a，﹣a²﹣3a+4），MP＝﹣a²﹣3a+4﹣（﹣2a）＝﹣a²﹣a+4

∴P（a，﹣a²﹣a+4）

代入y＝x+4

解得a＝﹣2

∴△CPN的面积为4

故答案为：9/2或4

②存在

设M坐标为（a，0）

则N为（a，﹣a²﹣3a+4）

则P点坐标为（a，(-a²-3a+4)/2）

把点P坐标代入y＝﹣x+4

解得a1＝﹣4（舍去），a2＝﹣1

当PF＝FM时，点D在MN垂直平分线上，则D（1/2，3/2）

当PM＝PF时，由菱形性质点D坐标为（﹣1+(3√2)/2，(3√2)/2）（﹣1-(3√2)/2，-(3√2)/2）

【总结】

本题难度不大，甚至出现过很多的同类题，其实本题的原型在之前的中考题中都可以找到。如果你有《我爱压轴题·中考数学压轴题全解析》的话，找到对应的三角形相似存在性问题与菱形的存在性问题，就可以发现，此类题目并不新鲜。

题（3）①与2013年曲靖市的中考压轴题几乎完全一样，哈哈。

这就是中考题的套路吧。

题（3）②与2013年咸宁市的压轴题类似。

【变式】

（2013·曲靖）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y＝﹣x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．

（1）求抛物线的解析式．

（2）当DE＝4时，求四边形CAEB的面积．

（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．