本题不难,但是非常典型,综合全等三角形、相似、三角函数、等腰三角形的性质,圆的性质等知识点,考察的方法知识点非常的重要,所用到的解题方法也是非常的典型,特别适合作为例题进行训练. 【题目】 (2018·深圳)如图,△ABC内接于⊙O,BC=2,AB=AC,点D为(AC)̂上的动点,且cos∠ABC=√10/10. (1)求AB的长度; (2)在点D的运动过程中,弦AD的延长线交BC延长线于点E,问AD·AE的值是否变化?若不变,请求出AD·AE的值;若变化,请说明理由; (3)在点D的运动过程中,过A点作AH⊥BD,求证:BH=CD+DH. 【答案】 解:(1)作AM⊥BC, ∵AB=AC,AM⊥BC,BC=2BM, ∴CM=1/2BC=1, ∵cosB=BM/AB=√10/10, 在Rt△AMB中,BM=1, ∴AB=BM/cosB=√10; 说明:本题的关键在于三线合一. (2)连接DC, ∵AB=AC, ∴∠ACB=∠ABC, ∵四边形ABCD内接于圆O, ∴∠ADC+∠ABC=180°, ∵∠ACE+∠ACB=180°, ∴∠ADC=∠ACE, ∵∠CAE公共角, ∴△EAC∽△CAD, ∴AC/AD=AE/AC, ∴AD·AE=AC²=10; 说明:亦可证明△EAB∽△BAD,得AD·AE=AB²=10. (3) 【方法一】截长补短 在BD上取一点N,使得BN=CD, 在△ABN和△ACD中 AB=AC,∠3=∠1,BN=CD, ∴△ABN≌△ACD(SAS), ∴AN=AD, ∵AN=AD,AH⊥BD, ∴NH=HD, ∵BN=CD,NH=HD, ∴BN+NH=CD+HD=BH. 【方法二】如图, 延长过点A作AF⊥CD,垂足为点F. 或说延长CD至点F使得,DF=DH, 当然也可以说使得CF=BH. 【方法三】如图, 延长BD至点F使得HF=BH. 【方法四】过点B作BF⊥CD,垂足为F. 【总结】 题2的结论是线段成绩为定值,想到的就是三角形相似.由于A、D、E三点是共线的,所以我们只需再找一个点即可,点B和点C恰好都可以,比较巧. 题3的结论是线段的和差关系,因为优先考虑的就是截长补短,做辅助线的方法多样,同一个图形可能会有不同的说法,所以这道题目非常的典型,难度不大,但是比较巧.越巧越适合作为例题. 抽象出来的图形其实是两个共边的等腰三角形ABC和ABD,组成一个等腰梯形. |
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