2018年深圳市中考数学压轴题分析

本题不难，但是非常典型，综合全等三角形、相似、三角函数、等腰三角形的性质，圆的性质等知识点，考察的方法知识点非常的重要，所用到的解题方法也是非常的典型，特别适合作为例题进行训练．

【题目】

（2018·深圳）如图，△ABC内接于⊙O，BC＝2，AB＝AC，点D为(AC)̂上的动点，且cos∠ABC=√10/10．

（1）求AB的长度；

（2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD·AE的值是否变化？若不变，请求出AD·AE的值；若变化，请说明理由；

（3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH＝CD+DH．

【答案】

解：（1）作AM⊥BC，

∵AB＝AC，AM⊥BC，BC＝2BM，

∴CM=1/2BC＝1，

∵cosB=BM/AB=√10/10，

在Rt△AMB中，BM＝1，

∴AB=BM/cosB=√10；

说明：本题的关键在于三线合一．

（2）连接DC，

∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC，

∵四边形ABCD内接于圆O，

∴∠ADC+∠ABC＝180°，

∵∠ACE+∠ACB＝180°，

∴∠ADC＝∠ACE，

∵∠CAE公共角，

∴△EAC∽△CAD，

∴AC/AD=AE/AC，

∴AD·AE＝AC²＝10；

说明：亦可证明△EAB∽△BAD，得AD·AE＝AB²＝10．

（3）

【方法一】截长补短

在BD上取一点N，使得BN＝CD，

在△ABN和△ACD中

AB=AC，∠3=∠1，BN=CD，

∴△ABN≌△ACD（SAS），

∴AN＝AD，

∵AN＝AD，AH⊥BD，

∴NH＝HD，

∵BN＝CD，NH＝HD，

∴BN+NH＝CD+HD＝BH．

【方法二】如图，

延长过点A作AF⊥CD，垂足为点F．

或说延长CD至点F使得，DF=DH，

当然也可以说使得CF=BH．

【方法三】如图，

延长BD至点F使得HF=BH．

【方法四】过点B作BF⊥CD，垂足为F．

【总结】

题2的结论是线段成绩为定值，想到的就是三角形相似．由于A、D、E三点是共线的，所以我们只需再找一个点即可，点B和点C恰好都可以，比较巧．

题3的结论是线段的和差关系，因为优先考虑的就是截长补短，做辅助线的方法多样，同一个图形可能会有不同的说法，所以这道题目非常的典型，难度不大，但是比较巧．越巧越适合作为例题．

抽象出来的图形其实是两个共边的等腰三角形ABC和ABD，组成一个等腰梯形．