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2018年深圳市中考数学压轴题分析

2019-06-19  当以读书...

本题不难,但是非常典型,综合全等三角形、相似、三角函数、等腰三角形的性质,圆的性质等知识点,考察的方法知识点非常的重要,所用到的解题方法也是非常的典型,特别适合作为例题进行训练.

【题目】

(2018·深圳)如图,△ABC内接于⊙O,BC=2,AB=AC,点D为(AC)̂上的动点,且cos∠ABC=√10/10.

(1)求AB的长度;

(2)在点D的运动过程中,弦AD的延长线交BC延长线于点E,问AD·AE的值是否变化?若不变,请求出AD·AE的值;若变化,请说明理由;

(3)在点D的运动过程中,过A点作AH⊥BD,求证:BH=CD+DH.

2018年深圳市中考数学压轴题分析

【答案】

解:(1)作AM⊥BC,

∵AB=AC,AM⊥BC,BC=2BM,

∴CM=1/2BC=1,

∵cosB=BM/AB=√10/10,

在Rt△AMB中,BM=1,

∴AB=BM/cosB=√10;

说明:本题的关键在于三线合一.

(2)连接DC,

∵AB=AC,

∴∠ACB=∠ABC,

∵四边形ABCD内接于圆O,

∴∠ADC+∠ABC=180°,

∵∠ACE+∠ACB=180°,

∴∠ADC=∠ACE,

∵∠CAE公共角,

∴△EAC∽△CAD,

∴AC/AD=AE/AC,

∴AD·AE=AC²=10;

说明:亦可证明△EAB∽△BAD,得AD·AE=AB²=10.

(3)

【方法一】截长补短

在BD上取一点N,使得BN=CD,

在△ABN和△ACD中

AB=AC,∠3=∠1,BN=CD,

∴△ABN≌△ACD(SAS),

∴AN=AD,

∵AN=AD,AH⊥BD,

∴NH=HD,

∵BN=CD,NH=HD,

∴BN+NH=CD+HD=BH.

2018年深圳市中考数学压轴题分析

【方法二】如图,

延长过点A作AF⊥CD,垂足为点F.

或说延长CD至点F使得,DF=DH,

当然也可以说使得CF=BH.

2018年深圳市中考数学压轴题分析

【方法三】如图,

延长BD至点F使得HF=BH.

2018年深圳市中考数学压轴题分析

【方法四】过点B作BF⊥CD,垂足为F.

2018年深圳市中考数学压轴题分析

【总结】

题2的结论是线段成绩为定值,想到的就是三角形相似.由于A、D、E三点是共线的,所以我们只需再找一个点即可,点B和点C恰好都可以,比较巧.

题3的结论是线段的和差关系,因为优先考虑的就是截长补短,做辅助线的方法多样,同一个图形可能会有不同的说法,所以这道题目非常的典型,难度不大,但是比较巧.越巧越适合作为例题.

2018年深圳市中考数学压轴题分析

抽象出来的图形其实是两个共边的等腰三角形ABC和ABD,组成一个等腰梯形.

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