这道国际数学竞赛题有点意思，它源自大家熟悉的正方形，45°角

题：如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF=45°，求EF/AB的最小值.

分析：由已知∠EAF=45°，联想到正方形的对角线与边的夹角也是45°，因此连接AC试试.设正方形的边长为1，则欲求EF/AB的最小值，只需要求EF的最小值.

解：如图2，连接AC.则∠BAC=∠DAC=45°，

所以∠BAE+∠EAC=45°，

因为∠EAF=45°，

所以∠EAC+∠CAF=45°，

所以∠BAE=∠CAF.

同理，∠DAF=∠CAE.

作EG⊥AC于G，FH⊥AC于H，则

∠AGE=∠AHF=∠B=∠D=90°，

所以△ABE∽△AHF，△ADF∽△AGE，

所以BE/HF=AE/AF，DF/GE=AF/AE，

两式相乘，得

BE/HF·DF/GE= AE/AF·AF/AE=1，

所以BE·DF=GE·HF，

因为△GCE和△HCF都是等腰直角三角形，

所以GE=CE/√2，HF=CF/√2，

所以BE·DF=CE·CF/2.

设正方形ABCD的边长为1，CE=x，CF=y，则

BE=1-x，DF=1-y，

所以(1-x)(1-y)=xy/2，

整理，得xy=2(x+y)-2，

所以EF=√(x^²+y^²)

=√[(x+y)^²-2xy]

=√[(x+y)^²-4(x+y)+4]

=√[(x+y)-2]^²

=|x+y-2|，

显然，x+y<2，

所以EF=2-(x+y).

设x+y=s，则EF=2-s，y=s-x，

因为xy=2(x+y)-2，

所以xy=2s-2，

所以x(s-x)=2s-2，

整理，得x^²-sx+2s-2=0，

因为x为实数，

所以△=s^²-4(2s-2)≥0，

即s^²-8s+8≥0，

解得s≥4+2√2或s≤4-2√2，

所以s最大值为4-2√2，

所以EF最小值=2-(4-2√2)=2√2√-2.