百折千回恒成立

百折千回恒成立

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文 | 杨春波

恒成立问题是高中数学的重要题型，在高考中常与函数、导数、不等式结合以压轴题的身份出现，是整个高中教学的重点，也是难点。

已知某含参的函数不等式恒成立，求参数的取值范围是高中的一类热点问题，这类问题的处理思路大致有两种：一种是分离参数，再去求分离后所得不含参函数的最值；另一种是直接去处理这个函数，为了得到含参函数的最值，往往需要对参数进行分类，去讨论单调性与最值。

很多问题在两种思路的处理难度上差别不大——两种方法均可，但有些问题其中一种思路明显优于另一种思路，甚至只有一种思路可行，这需要大家解题时先观察判断，解完题后多思考总结。

笔者近日发现2016年高考四川卷理科数学第21题是一道不可多得的恒成立问题，值得细细品味。它就像一瓶陈酿老酒，越品越香，越咂味越浓。此题第（Ⅱ）问难度不低，笔者的求解过程也是曲曲折折，反反复复，最终收获了不少解题感悟，与读者分享如下。

一

试题呈现

二

分析与解

第（Ⅰ）问较常规，只是求导之后别忘记定义域就好。

下面用“含参分类讨论”和“参变量分离”的方法逐一试之。

2.1 直接移项，含参分类讨论

于是，必有a>0！但这又该如何处理呢？多项式和指数型混杂在一起的感觉很棘手。

2.2 参变量分离

2.3 逼上梁山

两次等价转化均以失败告终，被逼无奈，只能另谋出路。吸取刚才的教训：总是因为函数结构过于复杂而草草收场。

每一次求导之后，导函数的符号都不易判定？右侧这个函数竟如此诡异，让人捉摸不透。

2.4 善于联想

2.5 再次投入分类讨论的怀抱

三

解题启示

以上解题过程百折千回，从中我们至少可以获得以下启示：

1

遇到问题，先试常规思路。如本题面对恒成立问题，先尝试了两种等价转化方法——含参分类讨论和参变量分离。如若行不通，则考虑调转思路。解题要学会变通。

2

与其望题兴叹，不如勇敢尝试。大多数尝试都是有价值的，即使失败的方法也能为我们提供点滴线索。如本题中参变量分离的方法帮我们确定了最终答案的形式，这在最后的分类讨论里，指导我们由求解a的取值范围转向证明a≥1/2符合题意。明确目标之后，解题会变得顺畅。

3

多积累掌握一些经典结论，做题时才能触发灵感，广泛联系。

4

不等式放缩很灵活，没有定式、定法，技巧性较强。只有不断练习，多次尝试，才能领悟深刻。放缩的方式也并不唯一，有时还可转向函数视角求最值，从而避免放缩过头。本题中，当a≥1/2时，我们寻找到了证明F′(x)>0的三种放缩方式，虽然大同小异，但也各有千秋，望读者细心体会。

5

解题时要瞻前顾后，综合考虑多种方法。没有哪种方法是万能的，是包解百题的。高考压轴题往往是综合了多种方法和策略的，切忌过分迷恋一种方法，幻想一招制敌。