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写在前面  绝对值和相反数一节，是学习有理数运算前的重要内容，其知识点多，概念易混淆，是很多学生的难点，因此，计划用2讲的篇幅，对这一节内容的重难点，易错点做一个归纳！ 本讲主要针对这一节的典型例题．  一、知识脉络 1.绝对值 (1)绝对值的定义(几何意义) 数轴上，表示一个数的 点与 原点的距离，叫做这个数的绝对值． (2)绝对值的表示方式 数a的绝对值记作|a|． (3)绝对值的非负性 一个数的绝对值是非负数，记作|a|≥0． (4)绝对值的代数意义  补充： 绝对值是它本身的数是非负数． 绝对值是它相反数的数是非正数． 2.相反数 (1)相反数的定义 符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数． (2)相反数的表示方式 这个数的前面添加一个“－”号． 数本身的表示方式 这个数的前面添加一个“＋”号． (3)多重符号的化简 在不含绝对值形式前提下 若一个正数前面有偶数个“－”，其结果为正， 若一个正数前面有奇数个“－”，其结果为负． (4)相反数的一些形式 a，b互为相反数←→a＋b＝0  二、典型例题 (1)0＋0型及变式 例1 已知|x－3|＋|y－0.5|＝0，求x、y的值． 分析： 根据绝对值的非负性，两个非负数相加，和要为0，只可能是0＋0型，因此，两个绝对值均为0． 解答： 由题意得， |x－3|＝0，|y－0.5|＝0 ∴x＝3，y＝0.5 变式 若|a－3|与|3b－6|互为相反数，求a－b的值． 分析： 由两式互为相反数，得到两式之和为0，转化为0＋0型． 解答： 由题意得，|a－3|＋|3b－6|＝0 |a－3|＝0，|3b－6|＝0 ∴a＝3，b＝2，a－b＝1 (2)相反数的应用 例2 若x与3x－4互为相反数，则x＝_____． 分析： 由两式互为相反数，得到两式之和为0，转化为关于x的方程． 解答： 由题意得， x＋3x－4＝0 4x－4＝0 x＝1 变式 若|m－2|与－7互为相反数，则m ＝_____． 分析： 由两式互为相反数，得到两式之和为0，|m－2|＝7，此时有两种思路： 一种，可得m－2＝±7， 一种，利用绝对值的几何意义，|m－2|表示数m的点与数2的点之间的距离，距离为7，则数m的点只需将数2的点向左或向右平移7个单位得到． 解答： 由题意得， |m－2|＝7 m－2＝±7， m＝9或－5 (3)多解问题 例3 如果两个有理数的绝对值分别是3和1，求表示这两个数的点之间的距离． 分析： 对于两个有理数，我们不妨设为a，b，数a的绝对值为3，则a＝±3，同理，b＝±1，此时，两个点的距离，就需要分情况讨论，a，b各有2种情况可搭配，总共四种情况．最后别忘了总结． 解答： 设两个有理数分别为a，b， 由题意得，a＝±3， b＝±1， 当a＝3，b＝1时，这两个数的点之间距离为2． 当a＝3，b＝－1时，这两个数的点之间距离为4． 当a＝－3，b＝1时，这两个数的点之间距离为4． 当a＝－3，b＝－1时，这两个数的点之间距离为2． 综上，表示这两个数的点之间的距离为2或4． 例4 已知|a|＝5，|b|＝3，且|a－b|＝b－a，求a、b的值． 分析： 由第一个条件，易知a＝±5， b＝±3，由|a－b|＝b－a，可知a－b的绝对值是它的相反数，则a－b是非负数，a－b≤0，a≤b，从而可以分类讨论，确定a，b的值． 解答： 由题意得， a＝±5， b＝±3 ∵|a－b|＝b－a， ∴a－b≤0，a≤b，  例5  分析： 由文字语言，我们要学会翻译为数学符号语言，互为相反数，则和为0，商为－1．互为倒数，则积为1，绝对值是2，m＝±2，然后分类讨论求值． 解答：  (4)绝对值化简 例6 |3－π|＝_____． 分析： 绝对值化简，首先要考虑原式的正负性，正数绝对值是本身，负数绝对值是相反数，显然3－π是负数，绝对值是其相反数． 解答： |3－π|＝π－3 例7 若1＜x＜5，|x－1|＋|x－5|＝_____． 分析： 由1＜x＜5，可得x－1＞0，x－5＜0，则前者绝对值是其本身，后者是其相反数． 解答： 原式＝x－1＋5－x＝4 例8 若a＜b＜0，化简|a－b|－|a|＋|b|． 分析： 由a＜b，知a－b＜0，故其绝对值是其相反数，a，b的绝对值均为其相反数． 解答： 原式＝b－a－(－a)＋(－b) ＝b－a＋a－b ＝0 |
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