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针对学友提出的“入门容易，但不会解题”这一问题，针对函数单调性的几个常用题型，整理出来，供参考。 初中学二次函数时，学生熟悉这个语句：y随x的增大而增大，y随Ⅹ的增大而减小。这就是高中函数的单调性。 y随X的增大而增大，从图象上看是上升的，即对任意的X1，X2∈D，且Ⅹ1<X2，有f(X1)<f(X2)，也就是增函数。 y随X的增大而减小，从图象上看是下降的，即对任意的X1，X2∈D，且Ⅹ1<Ⅹ2，有f(X1)>f(X2)，也就是减函数。 增加的部分①D是定义域内某个区间，所以单调性是函数的局部性质。②单调区间。③增减离不开区间。 函数的单调性是对函数在某一区间内图象上升或下降状态的一种描述。对已经学过的函数，直接利用性质得出。必须熟记。要会证明。 一次函数y=kX+b(K≠0) 当K>0时，在(一∞，+∞)上是增函数； 当K<0时，在(一∞，+∞)上是减函数。 二次函数y=ax²+bx+c(a≠o) 当a>0时，在(一∞，一b/2a]上是减函数； 在[一b/2a，+∞)上是增函数。 当a<O时，在(一∞，一b/2a]上是增函数； 在[一b/2a，+∞)上是减函数。 反比例函数y=k/X(K≠O) 当K>0时，在(一∞，0)，(0，+∞)上都是减函数； 当k<0时，在(一∞，0)，(0，+∞)上都是增函数。 反比例函数模型最易出错，如说函数y=2/X是减函数。错因是对函数的单调性定义“定义域上某区间内任意两个实数”理解不透，单调性是函数局部性质，“定义域”内很重要。X=0是函数无意义。纠错：①先确定定义域；②函数y=2/X是减函数没指出区间。正确解读：函数y=2/X在区间(一∞，O)上是减函数，在(0，+∞)上是减函数；③错写为：函数y=2/Ⅹ在(一∞，0)∪(0，+∞)上是减函数。纠错：一个函数有几个单调区间的，用逗号“，”连接，不能用符号“U'和汉字“或”。 一、证明函数的单调性 例：讨论函数y=X+1/X在(O，+∞)上的单调性。 [解析]设X1，Ⅹ2是(0，+∞)上的任意两个数，且X1<X2，则 f(X1)一f(X2)=……=X1一X2+1/X1一1/X2=(X1一X2)[Ⅹ1Ⅹ2一1)/X1Ⅹ2] (此时X1X2一1的正负不能确定，要细分为(0，1]与[1，+∞)两个区间。) ∵O<X1<X2，∴X1一X2<0，X1X2>0。 当O<x1<X2<1时，x1x2一1<O，f(Ⅹ1)一f(X2)>0，即f(x1)>f(×2)， 函数在(0，1)上是减函数； 当1≤X1<X2时，X1X2一1>0， f(x1)一f(X2)<0，即f(X1)<f(X2)，函数在[1，+∞)上是增函数。 [解题步骤]按照①任取：设X1，X2∈D，且Ⅹ1<X2。 ②作差：f(X1)一f(X2) ③变形：通分，分解因式，分解到能判断正负号为止。 ④判号。 ⑤结论。f(X1)<f(X2)=>f(X)在D上是增函数；f(X1)>f(X2)=>f(X)在D上是减函数。 在判断符号时，若不能确定，则必须细分。变形时要分解为不能再分解为止。 二、求复合函数的单调性 判断复合函数y=f(g(x))单调性的步骤： ①确定函数的定义域； ②分解函数为y=f(u)，u=g(Ⅹ)； ③分别确定两个函数的单调性； ④按“同增异减'确定函数的单调性。 例：求函数y=√(X²+X一6)的单调性。 [解析]函数的定义域为(一∞，一3]U[2，+∞)。 设y=√u，u=X²+X一6，y=√u在u∈[O，+∞)上为增函数，u=X²+X一6在(一∞，一1/2]上递减，在[一1/2，+∞)上递增。 故函数的单调增区间为[2，+∞)，单调减区间为(一∞，一3]。 三、比较大小 若y=f(x)在(0，+∞)上是减函数，则f(a²-a+2)与f(7/4)的大小关系是 [思路探寻]利用单调性，比较函数值的大小，先比较自变量的大小。注意是同一单调区间上。 [解析] ∵a²一a+2=(a一1/2)²+7/4≥7/4 f(X)在(0，+∞)上是减函数， ∴f(a²一a+2)≤f(7/4) 四、解不等式 利用单调性求解含“f”的不等式，抓住两点：①定义域(常被忽视而出错)；②单调性。 例：已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1),求a的取值范围. [思路探寻】不等式f(1-a)<f(2a-1)为抽象不等式,不能直接解,考虑到函数的单调性,可将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系,即转化为具体不等式来求解。 【解析】由题意可知 一1<1一a<1且一1<2a-1<1, 解得0<a<1.① 又f(x)在(一1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1) 故1ーa>2a-1,即a<2/3② 由①②可知,0<a<2/3 即所求a的取值范国是0<a<3。 我是数学山人行，关注欢迎！！！ |
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