生长式学习｜面积公式的理解与贯通

学生在小学就已经知道了各种基本图形的面积算法，可是知道计算公式不一定代表真正理解了面积的算法原理。

什么叫理解？

我认为至少要做到两点：

一是从直观上能解释接受，觉得符合事实应该如此。人的主观直觉就包含着对事物理性的、直接的把握。

二是从逻辑上能推导关联，弄清知识间的和谐统一。知识之间不是孤立的，是能够相互联系相互印证的。

在小学我们先学习长方形的面积计算方法：把长方形分割成单位小正方形，用乘法计算小正方形的个数，从而导出面积公式：面积＝长×宽（S=ab）。

变换看待问题的角度和方式会让我们更深刻地理解认识对象，这里我们不妨换一种角度来看：一维的线是零维的点的集合，二维的面是一维的线的集合。如图，矩形看成很多条水平线段的集合，水平线段的长度与a相关，水平线段的条数与高b相关，所有线段的长度总和为a×b就可以代表面积的数值。

三角形、梯形的中位线是其内部所有线段的平均值，因此它们的面积＝中位线×高。

为什么同底等高的矩形和平行四边形的面积相等？同底等高的两个三角形面积相等？

小学老师用面积公式解释，实际上是用结论来解释结论，无助于真正理解。

如下图，用一条任意水平线截两个图形，得到的两条线段是相等的，而面积是所有线段的总和，因此两个图形面积相等。

这实际上是平面版的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。意思为：界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等。

如下图，每个硬币看成一个面，每个横截面完全相同，所以虽然摆放的两个几何体形状不一样，但体积相等。

把祖暅原理的维度降一级改成平面版为：界于两条平行线间的两个图形，被任一平行于这两条线的直线所截，如果两条截线段的长度恒相等，则这两个图形的面积相等。

就是这么奇妙，不同知识间能高度相容，可以相互类比。

下面我们再来看最完美、最神奇的图形：圆。

把圆的内部看成很多同心圆周的集合，沿半径将圆周切开，放平，按次序叠放，得到一个三角形，如下图。易得三角形的底边为最外侧的圆周 2πR，高为半径R，得S=1/2×2πR×R=πR^2。

如下图，两线之间修建宽度为a的小路，尽管形状不同，但我们用平行线去截每一个图形得到的每条线段都相等，由以上原理可知它们的面积都为ah。

综上，我们把面积公式总结为：（1）若图形被每条平行于底的直线截得的线段相等，则面积等于底乘高；（2）若图形被每条平行于底的直线截得的线段不相等，则求其平均值，用此平均值乘高；（3）若底边为曲线则转化为直线计算。

再从各种图形的面积计算公式的关系来看，正方形、矩形、平行四边形、三角形、梯形、圆的面积公式可以互相推导。

转化为矩形：

转化为三角形：

其它图形都套用梯形面积公式：S＝(a+b)×h/2

正方形看成是上、下底、高相等的梯形：S正方形＝(a+a)×a/2＝a^2

矩形看成是上、下底相等的梯形：S矩形＝(a+a)×b/2＝ab

平行四边形看成是上、下底相等的梯形：S平行四边形＝(a+a)×h/2＝ah

三角形看成是上底为0的梯形：S三角形＝(a+0)×h/2＝ah/2

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奇妙的雪花曲线：周长无限，面积有限！

由图1那样的等边三角形开始。然后把三角形的每条边三等分，并在每条边三分后的中段向外作新的等边三角形，但要像图2那样去掉与原三角形叠合的边。接着对每个小等边三角形继续上述过程，便产生了雪花曲线。

雪花曲线令惊异的性质是：它具有有限的面积，但却有着无限的周长！

雪花曲线的周长持续增加，每次都变为原来的4/3倍，因而没有界限，但整条曲线却可以画在一张有限的纸上，所以它的面积是有限的，可以用等比数列求和得其面积等于原三角形面积的8／5倍。

雪花曲线又称为“科克曲线”，它的特征有:

1.它是一条连续的回线，永远不会自我相交。

2.每次变化面积都会增加，但是总面积是有限的，不会超过初始三角形的外接圆。

3.曲线是无限长的，即在有限空间里的无限长度。

4.把它分成若干部分，每一个部分都和原来一样（只是大小不同）。这样的图形叫做“自相似”图形，它是分形图形最主要的特征。