2020年中考数学二次函数压轴题之抛物线的平移及图形相似问题

7．如图1，抛物线 G1：y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，已知点 A 的坐标为（﹣1，0），点 O 为坐标原点，OC＝3OA，抛物线 G1 的顶点为 G .

（1）求出抛物线 G1 的解析式，并写出点 G 的坐标；

（2）如图2，将抛物线 G1向下平移 k（k＞0）个单位，得到抛物线 G2，设 G2 与 x 轴的交点为A′、B′，顶点为 G′，当 △A′B′G′ 是等边三角形时，求 k 的值；

（3）在（2）的条件下，如图3，设点 M 为 x 轴正半轴上一动点（介于 0 与 B 之间），过点 M 作x 轴的垂线分别交抛物线 G1、G2 于 P、Q 两点，是否存在 M 点，使得以 A、Q、M 为顶点的三角形与以 P、M、B 为顶点的三角形相似？若存在，求出点 M 的坐标：若不存在，请说明理由．

【解析】解：

（1）∵ 点 A 的坐标为（﹣1，0），

∴ OA＝1，

∴ OC＝3OA = 3，

∴ 点 C 的坐标为（0，3），

将 A、C 坐标代入 y＝ax2﹣2ax+c，得：

∴ 抛物线 G1 的解析式为 y＝﹣x2 + 2x + 3＝﹣（x﹣1）2 + 4，

∴ 点 G 的坐标为（1，4）．

（2）设抛物线 G2 的解析式为 y＝﹣x2+2x+3﹣k，即 y＝﹣（x﹣1）2+4﹣k，

过点 G′ 作 G'D⊥x 轴于点 D，设 B′D＝m，

∵ △A'B'G' 为等边三角形，

∴ G'D = √3 B'D = √3 m，则点 B' 的坐标为（m+1，0），点 G' 的坐标为（1，√3 m），

将点 B'、G' 的坐标代入 y＝﹣（x﹣1）2 + 4﹣k，得：

∴ k＝1；

（3）设 M（a，0），则 P（a，﹣a2+2a+3）、Q（a，﹣a2+2a+2），

∵ M 介于 O 与 B 之间，

∴ 0＜a＜3，

∵ A（﹣1，0），B（3，0）．

∴ AM＝a+1，QM＝﹣a2+2a+2，BM＝3﹣a，PM＝﹣a2+2a+3．

① 当 △AMQ∽△BMP 时，

② 当 △AMQ∽△PMB 时，

综上所述： M 点的坐标为 M1（√2/2 , 0），M2（1 + √2 ， 0）．