【原】遇到难题大胆地退，以退为进找规律

一位教师朋友问到下面这道题：

已知cosx为无理数，试求使cos2x，cos3x，......，cosnx都为有理数的最大正整数n.

读完题目大脑可能一片空白——完全没思路.

肿么办，肿么办，肿么办？

还是华罗庚的老办法——退.

从熟悉的、常见的、简单的、特殊的情况开始试探.

我们对x取特殊角，比如π/6，π/4，π/3，π/2等.经过一番尝试，发现π/6比较合适.

	cosx	cos2x	cos3x	cos4x‍‍	cos5x
π/6	√3/2	1/2	0	-1/2	-√3/2
π/4	√2/2	0	-√2/2
π/3	1/2
π/2	0

于是，我们大胆猜测最大的n=4.

如何证明n=5不符合题意呢？

试试反证法.

我们要借助前面的已知条件制造矛盾.

假设cos5x也是有理数.

因为cos5x=cos(2x+3x)=cos2xcos3x-sin2xsin3x，又因为cos2x，cos3x均为有理数，所以sin2xsin3x也是有理数.

这样的话，cosx=cos(3x-2x)=cos3xcos2x+sin2xsin3x也是有理数，与题设cosx为无理数矛盾.

所以，满足题意的最大正整数n=4.

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