中考数学试题解析之最短路径问题

早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．

一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：

将军每天从军营 A 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的 B 地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为 “将军饮马” 的问题广泛流传．

知识储备：利用轴对称知识解决最短路径问题.

典型解析：

【例题 1】如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为 32 cm，在杯内壁离杯底 5 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3 cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为 cm（杯壁厚度不计）．

【答案】20．

【分析】解：如图，将杯子侧面展开，作点 A 关于 EF 的对称点 A′，

连接 A′B，则 A′B 即为最短距离，A′B = √(A′D²＋BD²)＝20（cm）．

当蚂蚁在一个几何体的表面上爬行时，通常情况下都会考虑将其展开成一个平面，运用勾股定理计算其最短路程，也就是运用 “化曲为平” 或 “化折为直” 的思想来解决问题．

【例题 2】如图，∠AOB = 60°，点 P 是 ∠AOB 内的定点且 OP = √3，若点 M、N 分别是射线OA、OB 上异于点 O 的动点，则 △PMN 周长的最小值是（　　）

A．3√6/2

B．3√3/2

C．6

D．3

【答案】D．

【分析】

解：如图作 P 点分别关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD 分别交 OA、OB 于 M、N，

则 MP = MC，NP = ND，OP = OD = OC = √3，∠BOP = ∠BOD，∠AOP = ∠AOC，

∴ PN + PM + MN = ND + MN + NC = DC，

∠COD = ∠BOP + ∠BOD + ∠AOP + ∠AOC = 2∠AOB = 120°，

∴ 此时 △PMN 周长最小，

作 OH⊥CD 于 H，则 CH = DH，

∵ ∠OCH = 30°，

∴ OH = 1/2OC = √3/2，CH = √3OH= 3/2，

∴ CD = 2CH = 3．

【例题 3】如图，⊙M 的半径为 2，圆心 M 的坐标为（3,4），点 P 是 ⊙M 上的任意一点，PA⊥PB，且 PA、PB 与 x 轴分别交于 A、B 两点，若点 A、点 B 关于原点 O 对称，则 AB 的最小值为（ ）

A.3

B.4

C.6

D.8

【答案】C．

【分析】解：

∵ PA⊥PB，

∴ ∠APB = 90°，

∵ AO=BO，

∴ AB = 2PO，

若要使 AB 取得最小值，则 PO 需取得最小值，

连接 OM，交 ⊙M 于点 P′，当点 P 位于 P′ 位时，OP′ 取得最小值，

过点 M 作 MQ⊥x 轴于点 Q，

则 OQ = 3、MQ = 4，

∴ OM = 5，

又 ∵ MP′ = 2，

∴ OP′ = 3，

∴ AB = 2OP′ = 6．

【例题 4】如图，点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD 对角线 AC 上的一个动点，点 M、N 分别是 AB、BC 边上的中点，则 MP + PN 的最小值是（ ）

A.1/2

B.1

C.√2

D.2

【答案】B．

【分析】解：如图，作点 M 关于 AC 的对称点 M′，连接 M′N 交 AC 于 P，

此时 MP + NP 有最小值，最小值为 M′N 的长．

∵ 菱形 ABCD 关于 AC 对称，M 是 AB 边上的中点，

∴ M′ 是 AD 的中点，

又∵ N 是 BC 边上的中点，

∴ AM′∥BN，AM′=BN，

∴ 四边形 ABNM′ 是平行四边形，

∴ M′N = AB = 1，

∴ MP + NP = M′N =1，即 MP + NP 的最小值为 1．