【原】线性代数《行列式》常见题型练习题（1）参考解答

(A)a;   (B)1/a;    (C) a^n-1;     (D)aⁿ.

【参考答案】：由于| A^*|= |A|^n-1，所以答案为（C）.

(2) (1994年数学一) 设A为n阶非零方阵，A^*是A的伴随矩阵，A^T是A的转置矩阵. 当A^*=A^T时，证明：|A|≠0.

【参考答案】：设A=(α₁, α₂, …, α_n)^T，其中α_i(i=1,2,…,n)为A的行向量，所以有

由公式AA*=|A|E，根据已知A^*=A^T，有A A^T =|A|E。

  考虑反证法：如果|A|=0，则有

这与A为n阶非零方阵矛盾，所以|A|≠0.

(3)(1995年数学一) 设A是n阶矩阵，满足AA^T=E(E是n阶单位矩阵，A^T是A的转置矩阵），|A|<0求|A+E|.

【参考答案】：因为

由于|A|<0，所以1-|A|>0，所以|A+E|=0.

(4)(1996年数学一) 计算

【参考答案1】：记行列式为V，则按第一行展开

【参考答案2】：依据行列式的拉普拉斯展开法则，将行列式按第2，3行展开，于是有

(5) 设A为三阶方阵，|A|=1/3，计算

【参考答案】：由于

所以有

(6) 设A为三阶方阵，|A|=3，A=(A₁,A₂,A₃)，计算

【参考答案】：

(7) 设A为三阶正交矩阵，|A|<0，B是3阶方阵，|B-A|=4，计算|E-AB^T|.

【参考答案】：由题设，有

所以

(8) 设A为三阶方阵，A_ij=a_ij，a₁₁≠0，则|A|等于多少？

【参考答案】：因为

所以

又因为

(9) (1988年数学一)设A,B均为四阶方阵，且有

α, β, γ₂, γ₃,γ₄均为四维向量，计算|A+B|.

【参考答案】：由

所以有

(10) 设α₁, α₂, α₃,β₁, β₂,均为四维向量，

计算|α₃, β₁+β_2，α₂, α₁|.

【参考答案】：

---